Dados os funcionais lineares f, g: E R, considere a forma bilinear f otimes g: E times E R (produto tensorial de f e g ) definida por (f otimes g)(u, v)=f(u) cdot g(v). Prove as seguintes afirmações:
(a) f otimes g=0 Rightarrow f=0 ou g=0.
(b) f otimes g=g otimes f Leftrightarrow um dos funcionais f, g é múltiplo do outro.
(c) Sef1 ldots, fn subset E^* é uma base então as formas bilineares fi otimes fj constituem uma base de B(E times E).
(d) Nas condições do item (c), as formas fi bul<=t fj=fi otimes fj+fj otimes fi, com i <= j, constituem uma base para o espaço das formas bilineares simétricas.
(e) Com a notação de (c), as formas fi wed>= fj=fi otimes fj-fj otimes fi, com i<j, constituem uma base para o espaço das formas bilineares anti-simétricas.

Passo 1

O enunciado apresenta dois funcionais lineares f,g∶E→ℝ e define a forma bilinear tensorial (f⊗g)(u,v)=f(u)·g(v). Precisamos provar cinco propriedades: (a) se f⊗g=0 então f=0 ou g=0; (b) f⊗g é simétrico ⇔ f e g são múltiplos; (c) se {f₁,…,fₙ} é base de E* então {fᵢ⊗fⱼ}ᵢⱼ é base de B(E×E); (d) as combinações simétricas fᵢ●fⱼ formam base das formas simétricas; (e) as combinações antissimétricas fᵢ∧fⱼ formam base das formas antissimétricas. Vamos usar conceitos de bilinearidade, dependência linear e contagem de dimensões.

Passo 2

Para (a), note que f⊗g=0 significa f(u)·g(v)=0 para todos u,v∈E. Se f≠0, existe u₀ com f(u₀)≠0. Então para todo v temos g(v)=0 pois f(u₀)·g(v)=0 e f(u₀)≠0. Logo g=0. O mesmo argumento vale trocando papéis se g≠0, então f=0.

Passo 3

Para (b), f⊗g=g⊗f significa f(u)·g(v)=f(v)·g(u) para todos u,v. Tomando um vetor u₀ com g(u₀)≠0 (caso g≠0), define λ=f(u₀)/g(u₀). Então para qualquer v temos f(v)=λ·g(v). Se g=0, trivialmente f⊗g=0 é simétrico e f=0·g. O raciocínio mostra que simetria implica dependência linear e vice-versa se f=λg então f(u)g(v)=λg(u)g(v)=f(v)g(u).

Passo 4

Para (c), como dim E=n, sabemos que dim B(E×E)=n². Os n² tensores fᵢ⊗fⱼ são claramente bilineares. Para ver que geram B(E×E), tome φ∈B(E×E) e expresse φ em relação à base canônica {e₁,…,eₙ} de E: seja a_{ij}=φ(eᵢ,eⱼ). Então para todo u=∑uᵢeᵢ e v=∑vⱼeⱼ, pela bilinearidade, φ(u,v)=∑_{i,j}uᵢvⱼa_{ij}. Mas também
block-math-1@start
sumi,jaijfi(u)fj(v)=sumi,jaijui,vj=φ(u,v)
Isso mostra que φ=∑_{i,j}a_{ij}(fᵢ⊗fⱼ), logo {fᵢ⊗fⱼ} gera e, por contagem de n² vetores em espaço de dimensão n², é base.

Passo 5

Para (d), o subespaço das formas bilineares simétricas tem dimensão n(n+1)/2. Definimos fᵢ●fⱼ=fᵢ⊗fⱼ+fⱼ⊗fᵢ para i≤j. São n(n+1)/2 tais formas. Mostra‐se que qualquer φ simétrica satisfaz φ(u,v)=φ(v,u) e pode ser escrito de forma única como combinação linear de fᵢ●fⱼ, extraindo os coeficientes simétricos a_{ij}=(1/2)[φ(eᵢ,eⱼ)+φ(eⱼ,eᵢ)].

Passo 6

Para (e), o espaço das formas bilineares antissimétricas tem dimensão n(n–1)/2. Definimos fᵢ∧fⱼ=fᵢ⊗fⱼ–fⱼ⊗fᵢ para i<j. São exatamente n(n–1)/2 formas. Qualquer ψ antissimétrica satisfaz ψ(u,v)=–ψ(v,u) e anula pares iguais, e pode ser escrito unicamente como ψ=∑_{i<j}b_{ij}(fᵢ∧fⱼ) com b_{ij}=ψ(eᵢ,eⱼ).

Resposta

As cinco afirmações são verdadeiras com as seguintes conclusões:
(a) f⊗g=0 implica f=0 ou g=0.
(b) f⊗g=g⊗f ⇔ f e g são múltiplos um do outro.
(c) Se {f₁,…,fₙ} é base de E*, então {fᵢ⊗fⱼ} (i,j=1,…,n) é base de B(E×E).
(d) As formas fᵢ●fⱼ=(fᵢ⊗fⱼ+fⱼ⊗fᵢ) com i≤j formam uma base de B^{sym}(E×E).
(e) As formas fᵢ∧fⱼ=(fᵢ⊗fⱼ–fⱼ⊗fᵢ) com i<j formam uma base de B^{antisym}(E×E).

Exercícios de Livros Relacionados