Dados os funcionais lineares
, considere a forma bilinear
(produto tensorial de f e g ) definida por
. Prove as seguintes afirmações:
(a)
ou
.
(b)
um dos funcionais
é múltiplo do outro.
(c)
é uma base então as formas bilineares
constituem uma base de
.
(d) Nas condições do item (c), as formas
, com
, constituem uma base para o espaço das formas bilineares simétricas.
(e) Com a notação de (c), as formas
, com
, constituem uma base para o espaço das formas bilineares anti-simétricas.
(a)
(b)
(c)
(d) Nas condições do item (c), as formas
(e) Com a notação de (c), as formas
Passo 1
O enunciado apresenta dois funcionais lineares f,g∶E→ℝ e define a forma bilinear tensorial (f⊗g)(u,v)=f(u)·g(v). Precisamos provar cinco propriedades: (a) se f⊗g=0 então f=0 ou g=0; (b) f⊗g é simétrico ⇔ f e g são múltiplos; (c) se {f₁,…,fₙ} é base de E* então {fᵢ⊗fⱼ}ᵢⱼ é base de B(E×E); (d) as combinações simétricas fᵢ●fⱼ formam base das formas simétricas; (e) as combinações antissimétricas fᵢ∧fⱼ formam base das formas antissimétricas. Vamos usar conceitos de bilinearidade, dependência linear e contagem de dimensões.
Passo 2
Para (a), note que f⊗g=0 significa f(u)·g(v)=0 para todos u,v∈E. Se f≠0, existe u₀ com f(u₀)≠0. Então para todo v temos g(v)=0 pois f(u₀)·g(v)=0 e f(u₀)≠0. Logo g=0. O mesmo argumento vale trocando papéis se g≠0, então f=0.
Passo 3
Para (b), f⊗g=g⊗f significa f(u)·g(v)=f(v)·g(u) para todos u,v. Tomando um vetor u₀ com g(u₀)≠0 (caso g≠0), define λ=f(u₀)/g(u₀). Então para qualquer v temos f(v)=λ·g(v). Se g=0, trivialmente f⊗g=0 é simétrico e f=0·g. O raciocínio mostra que simetria implica dependência linear e vice-versa se f=λg então f(u)g(v)=λg(u)g(v)=f(v)g(u).
Passo 4
Para (c), como dim E=n, sabemos que dim B(E×E)=n². Os n² tensores fᵢ⊗fⱼ são claramente bilineares. Para ver que geram B(E×E), tome φ∈B(E×E) e expresse φ em relação à base canônica {e₁,…,eₙ} de E: seja a_{ij}=φ(eᵢ,eⱼ). Então para todo u=∑uᵢeᵢ e v=∑vⱼeⱼ, pela bilinearidade, φ(u,v)=∑_{i,j}uᵢvⱼa_{ij}. Mas também
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Isso mostra que φ=∑_{i,j}a_{ij}(fᵢ⊗fⱼ), logo {fᵢ⊗fⱼ} gera e, por contagem de n² vetores em espaço de dimensão n², é base.
Passo 5
Para (d), o subespaço das formas bilineares simétricas tem dimensão n(n+1)/2. Definimos fᵢ●fⱼ=fᵢ⊗fⱼ+fⱼ⊗fᵢ para i≤j. São n(n+1)/2 tais formas. Mostra‐se que qualquer φ simétrica satisfaz φ(u,v)=φ(v,u) e pode ser escrito de forma única como combinação linear de fᵢ●fⱼ, extraindo os coeficientes simétricos a_{ij}=(1/2)[φ(eᵢ,eⱼ)+φ(eⱼ,eᵢ)].
Passo 6
Para (e), o espaço das formas bilineares antissimétricas tem dimensão n(n–1)/2. Definimos fᵢ∧fⱼ=fᵢ⊗fⱼ–fⱼ⊗fᵢ para i<j. São exatamente n(n–1)/2 formas. Qualquer ψ antissimétrica satisfaz ψ(u,v)=–ψ(v,u) e anula pares iguais, e pode ser escrito unicamente como ψ=∑_{i<j}b_{ij}(fᵢ∧fⱼ) com b_{ij}=ψ(eᵢ,eⱼ).
Resposta
As cinco afirmações são verdadeiras com as seguintes conclusões:
(a) f⊗g=0 implica f=0 ou g=0.
(b) f⊗g=g⊗f ⇔ f e g são múltiplos um do outro.
(c) Se {f₁,…,fₙ} é base de E*, então {fᵢ⊗fⱼ} (i,j=1,…,n) é base de B(E×E).
(d) As formas fᵢ●fⱼ=(fᵢ⊗fⱼ+fⱼ⊗fᵢ) com i≤j formam uma base de B^{sym}(E×E).
(e) As formas fᵢ∧fⱼ=(fᵢ⊗fⱼ–fⱼ⊗fᵢ) com i<j formam uma base de B^{antisym}(E×E).
(a) f⊗g=0 implica f=0 ou g=0.
(b) f⊗g=g⊗f ⇔ f e g são múltiplos um do outro.
(c) Se {f₁,…,fₙ} é base de E*, então {fᵢ⊗fⱼ} (i,j=1,…,n) é base de B(E×E).
(d) As formas fᵢ●fⱼ=(fᵢ⊗fⱼ+fⱼ⊗fᵢ) com i≤j formam uma base de B^{sym}(E×E).
(e) As formas fᵢ∧fⱼ=(fᵢ⊗fⱼ–fⱼ⊗fᵢ) com i<j formam uma base de B^{antisym}(E×E).