Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada:
b: R^n times R^n R, b(u, v)=lang<=A u, B vrang<=, A, B in L(R^n), base canônica de R^n.

Passo 1

A questão pede para encontrar a matriz da forma bilinear b: ℝⁿ×ℝⁿ→ℝ definida por b(u,v)=⟨A u, B v⟩, usando a base canônica de ℝⁿ. O conteúdo envolve representação matricial de formas bilineares: se b(u,v)=uᵀ M v, então M é a matriz que queremos.

Passo 2

Na base canônica, as coordenadas de u e v são seus vetores coluna u e v. Como ⟨x,y⟩=xᵀy, temos b(u,v)=⟨A u, B v⟩=(A u)ᵀ(B v)=uᵀ Aᵀ B v. Comparando com b(u,v)=uᵀ M v, concluímos que M=Aᵀ B.

Resposta

A matriz associada à forma bilinear b, na base canônica, é A^T B.

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