Dado o operador , prove:
(b) Se é normal, também é.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, se um operador normal (isto é, satisfaz ), então seu pseudoinverso de Moore–Penrose também é normal.
Passo 2
Vamos usar o Teorema espectral para operadores normais num espaço de dimensão possivelmente infinita (mas separável): existe uma base ortonormal de e escalares em tais que, para todo ,
Passo 3
Essa decomposição separa os autovalores nulos e não nulos. Para definir o pseudoinverso, escolhemos
Passo 4
Agora vamos ver o adjunto de A^+. Como (xi) é ortonormal, basta ver a ação em cada xi:
(A^+)^* xi = 1lambdai,xi = 1lambdai,xi;quando lambdaineq0, (A^+)^* xi = 0 se lambdai=0
Passo 5
Finalmente, tanto A^+ (A^+)^* quanto (A^+)^* A^+ são operadores diagonais na base (xi), com entradas
1lambdaicdot1lambdai = 1|lambdai|^2(lambdaineq0)e0 se lambdai=0
Como são diagonalizados na mesma base com os mesmos valores, eles comutam. Logo
A^+ (A^+)^* = (A^+)^* A^+,
Passo 6
o que mostra que A^+ é normal.
Resposta
O pseudoinverso A^+ de um operador normal A também é um operador normal.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 16.Exercícios - Ex. 16.6.b