Dado o operador A: E E, prove:
(b) Se A é normal, A^+também é.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, se um operador normal A: E to E (isto é, satisfaz A A^* = A^* A), então seu pseudoinverso de Moore–Penrose A^+ também é normal.

Passo 2

Vamos usar o Teorema espectral para operadores normais num espaço de dimensão possivelmente infinita (mas separável): existe uma base ortonormal (xi)iin I de E e escalares lambdai em C tais que, para todo i,
A xi = lambdai xi;

Passo 3

Essa decomposição separa os autovalores nulos e não nulos. Para definir o pseudoinverso, escolhemos
A^+ xi = 1lambdai xi,& se lambdaineq 0, 0,& se lambdai=0

Passo 4

Agora vamos ver o adjunto de A^+. Como (xi) é ortonormal, basta ver a ação em cada xi:
(A^+)^* xi = 1lambdai,xi = 1lambdai,xi;quando lambdaineq0, (A^+)^* xi = 0 se lambdai=0

Passo 5

Finalmente, tanto A^+ (A^+)^* quanto (A^+)^* A^+ são operadores diagonais na base (xi), com entradas
1lambdaicdot1lambdai = 1|lambdai|^2(lambdaineq0)e0 se lambdai=0
Como são diagonalizados na mesma base com os mesmos valores, eles comutam. Logo
A^+ (A^+)^* = (A^+)^* A^+,

Passo 6

o que mostra que A^+ é normal.

Resposta

O pseudoinverso A^+ de um operador normal A também é um operador normal.

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