Dados P(0,0) e r: x+y-5=0, determinar o ponto médio do segmento cujas extremidades são o ponto P e a sua projeção ortogonal sobre r .

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(0,0) e a reta
r:;x+y-5=0
e pede o ponto médio do segmento cujas extremidades são P e a projeção ortogonal de P sobre r. Para resolver precisamos: a) encontrar a projeção ortogonal Q de P em r e b) usar a fórmula do ponto médio entre P e Q.

Passo 2

Para qualquer ponto (x0,y0) e reta dada por Ax+By+C=0, a projeção ortogonal Q=(x',y') de (x0,y0) em r é dada por
x' = x0 - AAx0 + By0 + CA^2 + B^2, y' = y0 - BAx0 + By0 + CA^2 + B^2

Passo 3

Na reta r temos A=1, B=1, C=-5 e no ponto P temos x0=0, y0=0. Calculamos
Ax0 + By0 + C = 1cdot 0 + 1cdot 0 - 5 = -5, A^2 + B^2 = 1^2 + 1^2 = 2
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x' = 0 - 1cdot-52 = 52, y' = 0 - 1cdot-52 = 52,
isto é, Ql(tfrac52,tfrac52r).

Passo 4

O ponto médio M entre P(0,0) e Ql(tfrac52,tfrac52r) é
Ml(tfrac0 + tfrac522,,tfrac0 + tfrac522r) = l(tfrac54,,tfrac54r)

Resposta

l(tfrac54,,tfrac54r)

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