Determinar a projeção ortogonal do ponto P(7,2) sobre a reta r: x-y+1=0.

Passo 1

O problema pede a projeção ortogonal do ponto P(7,2) sobre a reta rcolon x - y + 1 = 0. Isso envolve geometria analítica: vamos usar a fórmula da projeção de um ponto numa reta dada por ax+by+c=0.

Passo 2

A projeção ortogonal Q(x,y) de um ponto P(x0,y0) sobre a reta ax + by + c = 0 é dada por
x = x0 - a ,ax0 + by0 + ca^2 + b^2, y = y0 - b ,ax0 + by0 + ca^2 + b^2

Passo 3

Na reta rcolon x - y + 1 = 0 temos
a = 1, b = -1, c = 1
e para P(7,2) calculamos
E = a x0 + b y0 + c = 1cdot 7 + (-1)cdot 2 + 1 = 6, a^2 + b^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da projeção, vem
x = 7 - 1cdot62 = 7 - 3 = 4, y = 2 - (-1)cdot62 = 2 + 3 = 5
Logo a projeção ortogonal é o ponto Q(4,5).

Resposta

A projeção ortogonal de P(7,2) sobre r é Q(4,5).

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