20.51 Demonstre que
tem raízes
. Encontre as demais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio
tem raízes
e
e, em seguida, encontrar as outras raízes. Vamos usar o Teorema do Fator (ou Teorema do Resto) e divisão de polinômios para fatorar gradualmente o polinômio até chegar a uma equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, verificamos que
anula o polinômio, ou seja, calculamos
e confirmamos que dá zero, o que garante que
é um fator. De fato,
Em seguida, dividimos o polinômio original por
para reduzir o grau de 4 para 3, obtendo o quociente
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é raiz de
. Substituindo
logo
é divisível por
, ou seja, por
.
Dividindo o polinômio cúbico por obtemos um quadrático:
Dividindo o polinômio cúbico por
Passo 4
Por fim, resolvemos a equação
usando a fórmula de Bhaskara, onde
,
e
. Aplicando
Resposta
As raízes do polinômio são
,
,
e
.