20.51 Demonstre que 2 x^4-x^3-3 x^2-31 x-15=0 tem raízes 3,-12. Encontre as demais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio 2x^4 - x^3 - 3x^2 - 31x - 15 = 0 tem raízes 3 e -tfrac12 e, em seguida, encontrar as outras raízes. Vamos usar o Teorema do Fator (ou Teorema do Resto) e divisão de polinômios para fatorar gradualmente o polinômio até chegar a uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, verificamos que x=3 anula o polinômio, ou seja, calculamos P(3) e confirmamos que dá zero, o que garante que x-3 é um fator. De fato,
P(3)=2cdot3^4-3^3-3cdot3^2-31cdot3-15=162-27-27-93-15=0
Em seguida, dividimos o polinômio original por x-3 para reduzir o grau de 4 para 3, obtendo o quociente
2x^4 - x^3 - 3x^2 - 31x - 15 = (x-3),(2x^3 + 5x^2 + 12x + 5)

Passo 3

Agora vamos mostrar que x=-tfrac12 é raiz de 2x^3+5x^2+12x+5=0. Substituindo x=-tfrac12
2l(-tfrac12r)^3 + 5l(-tfrac12r)^2 + 12l(-tfrac12r) + 5 = -tfrac14 + tfrac54 - 6 + 5 = 0,
logo 2x^3+5x^2+12x+5 é divisível por x+tfrac12, ou seja, por 2x+1.
Dividindo o polinômio cúbico por 2x+1 obtemos um quadrático:
2x^3 + 5x^2 + 12x + 5 = (2x+1),(x^2 + 2x + 5)

Passo 4

Por fim, resolvemos a equação x^2+2x+5=0 usando a fórmula de Bhaskara, onde a=1, b=2 e c=5. Aplicando
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -2 pm raiz4 - 202 = -2 pm raiz-162 = -1 pm 2i

Resposta

As raízes do polinômio são 3, -tfrac12, -1 + 2i e -1 - 2i.

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