Determinar a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices (0,0),(4,0) e (0,6).

Passo 1

O enunciado pede a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices (0,0), (4,0) e (0,6). Em geometria analítica, o circuncentro de um triângulo é o ponto onde se cruzam as bissetrizes perpendiculares de dois lados, e o raio da circunferência circunscrita é a distância desse ponto a qualquer vértice.

Passo 2

Vamos achar a bissetriz perpendicular ao lado que liga A=(0,0) a B=(4,0).
  1. O ponto médio de AB é
MAB = l(0+42,0+02r) = (2,0)
  1. O segmento AB é horizontal, pois sua inclinação é zero, então a bissetriz perpendicular será a reta vertical que passa por MAB, isto é,
bissetriz de AB: x = 2

Passo 3

Agora a bissetriz perpendicular ao lado que liga A=(0,0) a C=(0,6).
  1. O ponto médio de AC é
MAC = l(0+02,0+62r) = (0,3)
  1. O segmento AC é vertical, então sua bissetriz perpendicular é a reta horizontal que passa por MAC, ou seja,
bissetriz de AC: y = 3

Passo 4

O circuncentro é a interseção das duas bissetrizes perpendiculares. Resolvendo
x = 2, y = 3,
vemos que o centro da circunferência circunscrita é
O = (2,3)

Passo 5

O raio r da circunferência é a distância de O a qualquer vértice, por exemplo a A=(0,0):
r = raiz(2-0)^2 + (3-0)^2 = raiz4 + 9 = raiz13

Resposta

A circunferência circunscrita tem centro O=(2,3) e raio r=raiz13, cuja equação é
(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13

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