Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(2,0) e B(4,-2) e tem centro na reta y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos pontos A(2,0) e B(4,-2) e cujo centro está na reta y=2x. Para achar essa circunferência, vamos chamar o centro de C(h,k), impor que k=2h e usar a condição de que as distâncias de C a A e a B são iguais ao raio R.

Passo 2

Igualamos as distâncias quadráticas de C a A e de C a B:
(h-2)^2 + k^2 = (h-4)^2 + (k+2)^2
Expandindo ambos os lados:
h^2 - 4h + 4 + k^2 = h^2 - 8h +16 + k^2 +4k +4
Cancelando h^2 e k^2 e reunindo termos, obtemos
-4h +4 = -8h +4k +20 ;Longrightarrow; h - k -4 = 0 ;Longrightarrow; k = h - 4

Passo 3

Como o centro está na reta y=2x, temos também k=2h. Igualando com k = h-4, vem
2h = h - 4 Longrightarrow h = -4,
e então
k = 2h = -8
Portanto o centro é C(-4,-8).

Passo 4

O raio R é a distância de C a A:
R^2 = (h-2)^2 + (k-0)^2 = (-4-2)^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100,
logo R = 10.

Passo 5

A equação da circunferência de centro C(-4,-8) e raio 10 é
(x+4)^2 + (y+8)^2 = 100

Resposta

(x+4)^2 + (y+8)^2 = 100

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