Para que valores de k a reta x=k intercepta a circunferência x^2+y^2-2 x=0 em dois pontos distintos?

Passo 1

O enunciado pede para quais valores de k a reta vertical x=k corta a circunferência dada por
x^2+y^2-2x=0
O conteúdo é geometria analítica de circunferência e condição de interseção entre reta e círculo. Vamos precisar escrever a circunferência na forma centro-raio e usar a distância do centro à reta.

Passo 2

Reescrevemos a equação da circunferência completando o quadrado em x:
x^2-2x+y^2=0 Longrightarrow (x-1)^2-1+y^2=0 Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1
Logo, o centro é (1,0) e o raio é r=1.

Passo 3

Uma reta vertical x=k intersecta a circunferência em dois pontos distintos se a distância horizontal do centro à reta for menor que o raio. Essa distância é lvert k-1rvert. Logo, a condição é
lvert k-1rvert<1

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
-1<k-1<1 Longrightarrow 0<k<2

Resposta

A reta x=k intercepta a circunferência em dois pontos distintos se, e somente se, k estiver em (0,2).

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