Determinar os valores de k que tornam as retas r: 2 x-ky+1=0 e s: 8 x+ky-1=0 perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede os valores de k que tornam perpendiculares duas retas definidas em função de k. O conteúdo é geometria analítica no plano, envolvendo inclinações (declives) e a condição de perpendicularidade de retas, que é m1 m2 = -1.

Passo 2

Encontramos a inclinação de r. Partimos de
2x - k y + 1 = 0
e isolamos y:
-k y = -2x - 1
y = 2k,x + 1k
Logo
mr = 2k.

Passo 3

Determinamos a inclinação de s. A equação
8x + k y - 1 = 0
leva a
k y = -8x + 1
y = -8k,x + 1k
Assim
ms = -8k.

Passo 4

Aplicamos a condição de perpendicularidade mr ms = -1. Então
2kcdotl(-8kr) = -1
Resolvendo,
-16k^2 = -1
16k^2 = 1
k^2 = 16
Portanto
k = pm 4,
descartando k=0 pois geraria divisão por zero.

Resposta

k = 4 ou k = -4

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