Se F(x, y)=x^3-3 x y+y^2, determine
F(x, y+k)-F(x, y)k

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o quociente de diferença de F em relação a y, deslocando y em k. O conteúdo aqui é manipular polinômio e usar definição de quociente de diferença.

Passo 2

Primeiro vamos escrever F(x,y+k) substituindo y por y+k em F(x,y)=x^3-3xy+y^2:
F(x,y+k)=x^3-3x(y+k)+(y+k)^2

Passo 3

Agora expandimos os termos:
F(x,y+k)=x^3-3xy-3xk+y^2+2yk+k^2

Passo 4

Em seguida subtraímos F(x,y):
F(x,y+k)-F(x,y)=(x^3-3xy-3xk+y^2+2yk+k^2)-(x^3-3xy+y^2)
Isso simplifica para:
F(x,y+k)-F(x,y)=-3xk+2yk+k^2

Passo 5

Por fim, dividimos esse resultado por k e simplificamos (assumindo kneq0):
F(x,y+k)-F(x,y)k=-3x+2y+k

Resposta

-3x + 2y + k

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