Determine a área de um hexágono regular inscrito em um círculo de raio R.

Passo 1

O problema pede a área de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R. Como o hexágono é regular e está inscrito, ele tem 6 lados iguais e todos os vértices tocam o círculo de raio R. Vamos usar trigonometria de cordas e depois decompor o hexágono em triângulos para achar a área.

Passo 2

O ângulo central que subtende cada lado do hexágono é
2pi6 = pi3
A corda correspondente a esse ângulo tem comprimento
s = 2R sin!l(tfracpi6r) = 2R cdot 12 = R,
portanto cada lado do hexágono vale s = R.

Passo 3

Podemos então dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros de lado R. A área de um triângulo equilátero de lado R é
raiz34,R^2

Passo 4

Somando a área dos 6 triângulos, a área total do hexágono é
6 times raiz34,R^2 = 6raiz34,R^2 = 3raiz32,R^2

Resposta

boxed3raiz32,R^2

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