Prove que a razão entre os comprimentos de dois círculos é igual a razão entre seus raios.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos dois círculos com raios
e
e comprimentos (circunferências)
e
, então
O conteúdo envolvido é geometria métrica: usamos o fato de que círculos são figuras semelhantes e que a dilatação (escala) multiplia todos os comprimentos por um mesmo fator.
Passo 2
Considere os círculos
e
com centros coincidentes em
e raios
e
. Seja
. Existe uma dilatação de centro
e razão
que leva cada ponto
do círculo
num ponto
de
, obedecendo
Como toda dilatação transforma segmentos em segmentos paralelos e de comprimento multiplicado por
, ela envia a circunferência inteira de
na circunferência inteira de
alongando cada pedacinho de reta que compõe o círculo por esse fator
.
Passo 3
Seja
o comprimento total de
. Aplicando a dilatação de razão
, cada elemento infinitesimal de arco
em
vira um arco de comprimento
em
. Integrando sobre todo o círculo, obtemos
Ou seja,