Prove que a razão entre os comprimentos de dois círculos é igual a razão entre seus raios.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos dois círculos com raios ,r1 e ,r2 e comprimentos (circunferências) L1 e L2, então
L1L2 ;=;r1r2
O conteúdo envolvido é geometria métrica: usamos o fato de que círculos são figuras semelhantes e que a dilatação (escala) multiplia todos os comprimentos por um mesmo fator.

Passo 2

Considere os círculos C1 e C2 com centros coincidentes em O e raios ,r1 e ,r2. Seja k=r1r2. Existe uma dilatação de centro O e razão k que leva cada ponto P do círculo C2 num ponto P' de C1, obedecendo
OP' = kcdot OP
Como toda dilatação transforma segmentos em segmentos paralelos e de comprimento multiplicado por k, ela envia a circunferência inteira de C2 na circunferência inteira de C1 alongando cada pedacinho de reta que compõe o círculo por esse fator k.

Passo 3

Seja L2 o comprimento total de C2. Aplicando a dilatação de razão k, cada elemento infinitesimal de arco ds em C2 vira um arco de comprimento k,ds em C1. Integrando sobre todo o círculo, obtemos
L1 = integralC1 ds' ;=;integralC2 k,ds ;=;kintegralC2 ds ;=;k,L2
Ou seja,
L1 = k,L2 = r1r2,L2

Resposta

L1L2 = r1r2

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