Determine uma equação com coeficientes inteiros que tenha apenas as seguintes raízes:
1, 12,-13;

Passo 1

O enunciado pede para achar uma equação de coeficientes inteiros cuja única raízes sejam 1, 1/2 e -1/3. O conteúdo aqui é polinômio com raízes dadas e vamos usar a ideia de fatoração em termos de (x − r) para cada raiz r.

Passo 2

Pela teoria dos polinômios, se r é raiz então (x − r) é fator. Logo um polinômio que zere em r₁, r₂ e r₃ pode ser escrito como p(x)=k·(x−r₁)(x−r₂)(x−r₃), onde k é uma constante não nula.

Passo 3

Aplicando às nossas raízes r₁=1, r₂=1/2 e r₃=−1/3, temos inicialmente os fatores (x−1), (x−1/2) e (x+1/3).

Passo 4

Para garantir coeficientes inteiros, escolhemos k e escalamos cada fator para eliminar denominadores: em vez de (x−1/2) usamos (2x−1) e em vez de (x+1/3) usamos (3x+1). Assim podemos tomar k=1 e definir p(x)=(x−1)(2x−1)(3x+1).

Passo 5

Basta agora expandir p(x):
First expand (x−1)(2x−1):
(x−1)(2x−1)=2x^2−3x+1
Depois multiplica por (3x+1):
(2x^2−3x+1)(3x+1)=6x^3−7x^2−x+1

Resposta

6x^3 - 7x^2 + 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados