Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Vértices (-2, pm 3) e focos (-2, pm 5).

Passo 1

O enunciado pede para achar a equação reduzida de uma hipérbole cujos vértices são (-2, pm 3) e focos (-2, pm 5). Estamos no assunto de hipérboles com eixo transverso vertical e precisamos achar o centro, o valor de a, de c e, depois, de b.

Passo 2

O centro de uma hipérbole fica no ponto médio entre os vértices. Calculando o ponto médio de (-2,3) e (-2,-3) encontramos (-2,0). A distância do centro até um vértice é a, então a = 3. A distância do centro até um foco é c, então c = 5.

Passo 3

Na hipérbole, relacionamos a, b e c por c^2 = a^2 + b^2. Substituindo, temos 25 = 9 + b^2, o que dá b^2 = 16.

Passo 4

A equação reduzida de uma hipérbole com eixo vertical e centro (h,k) é
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Substituindo h = -2, k = 0, a^2 = 9 e b^2 = 16, fica:
y^29 - (x + 2)^216 = 1

Resposta

y^29 - (x + 2)^216 = 1

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