Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar o subconjunto do plano dado por
. O conteúdo envolvido é classificação de cônicas e translação de eixos para colocar em forma padrão.
Passo 2
Para saber que tipo de cônica temos, olhamos para os coeficientes de
e
: eles têm sinais opostos (
e
), logo é uma hipérbole.
Passo 3
Vamos completar quadrados nos termos que envolvem
e
. Primeiro reescrevemos:
Agora fatoramos e completamos o quadrado:
Completando:
e
, então
Passo 4
Distribuindo e juntando constantes:
Dividindo por
:
Passo 5
Da forma padrão
vemos que o centro é
,
(logo
) e
(logo
).
Passo 6
Os vértices ficam a uma distância
ao longo do eixo transverso (vertical), ou seja:
Passo 7
Os focos vêm de
, logo
. Assim:
Passo 8
As assíntotas de hipérbole vertical são
Passo 9
Os eixos de simetria são a reta do eixo transverso
e do eixo conjugado
.
Passo 10
No gráfico temos a hipérbole centrada em
, abrindo para cima e para baixo, com vértices, focos e assíntotas conforme calculado.
Resposta
A equação define a hipérbole
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Eixos de simetria: e
Assíntotas: .
Vértices:
Focos:
Eixos de simetria:
Assíntotas: