Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
-9 x^2+16 y^2-90 x+32 y-353=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar o subconjunto do plano dado por -9x^2+16y^2-90x+32y-353=0. O conteúdo envolvido é classificação de cônicas e translação de eixos para colocar em forma padrão.

Passo 2

Para saber que tipo de cônica temos, olhamos para os coeficientes de x^2 e y^2: eles têm sinais opostos ( -9 e +16), logo é uma hipérbole.

Passo 3

Vamos completar quadrados nos termos que envolvem x e y. Primeiro reescrevemos:
-9x^2-90x+16y^2+32y=353
Agora fatoramos e completamos o quadrado:
-9(x^2+10x)+16(y^2+2y)=353
Completando: x^2+10x=(x+5)^2-25 e y^2+2y=(y+1)^2-1, então
-9l((x+5)^2-25r)+16l((y+1)^2-1r)=353

Passo 4

Distribuindo e juntando constantes:
-9(x+5)^2+225+16(y+1)^2-16=353
-9(x+5)^2+16(y+1)^2+209=353
-9(x+5)^2+16(y+1)^2=144
Dividindo por 144:
(y+1)^29-(x+5)^216=1

Passo 5

Da forma padrão (y+1)^2a^2-(x+5)^2b^2=1 vemos que o centro é (-5,-1), a^2=9 (logo a=3) e b^2=16 (logo b=4).

Passo 6

Os vértices ficam a uma distância a ao longo do eixo transverso (vertical), ou seja:
(-5,-1+3)=(-5,2),(-5,-1-3)=(-5,-4)

Passo 7

Os focos vêm de c^2=a^2+b^2=9+16=25, logo c=5. Assim:
(-5,-1+5)=(-5,4),(-5,-1-5)=(-5,-6)

Passo 8

As assíntotas de hipérbole vertical são
y+1=pmab(x+5)=pm34(x+5)

Passo 9

Os eixos de simetria são a reta do eixo transverso x=-5 e do eixo conjugado y=-1.

Passo 10

No gráfico temos a hipérbole centrada em (-5,-1), abrindo para cima e para baixo, com vértices, focos e assíntotas conforme calculado.

Resposta

A equação define a hipérbole
(y+1)^29-(x+5)^216=1
Centro: (-5,-1)
Vértices: (-5,2) e (-5,-4)
Focos: (-5,4) e (-5,-6)
Eixos de simetria: x=-5 e y=-1
Assíntotas: y+1=pmtfrac34(x+5).

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