Determine a equação reduzida da parábola que satisfaz a propriedade dada e esboce o gráfico:
Foco F=(4,-5) e diretriz x=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da parábola com foco F=(4,–5) e diretriz x=1; este é um problema de seções cônicas, usando a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz.

Passo 2

Seja (x,y) um ponto genérico da parábola. Aplicando a definição temos distância ao foco igual à distância à reta:
raiz(x-4)^2+(y+5)^2=|x-1|

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e simplificamos:
(x-4)^2+(y+5)^2=(x-1)^2
Expandindo e cancelando termos obtemos
y^2+10y-6x+40=0

Passo 4

Para obter a forma reduzida completamos o quadrado em y e isolamos x–h:
y^2+10y+25-25-6x+40=0
(y+5)^2-6x+15=0
6x=(y+5)^2+15
x-tfrac52=tfrac(y+5)^26

Passo 5

Logo a forma reduzida é
(y+5)^2=6l(x-tfrac52r)
O vértice é (5/2,–5), p=3/2>0 (abre para a direita), eixo de simetria y=–5; foco e diretriz conferem com o enunciado.

Resposta

(y+5)^2=6(x-52)

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