Determine a equação reduzida da parábola que satisfaz a propriedade dada e esboce o gráfico:
Vértice (4,1) e diretriz x=-3.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma parábola com vértice em (4,1) e direttriz x = -3. O conteúdo aqui é a definição de parábola (pontos equidistantes de foco e direttriz) e a forma reduzida de parábola horizontal.

Passo 2

Como a direttriz é a reta vertical x = -3, a parábola tem eixo horizontal e abre para a direita, pois o vértice (4,1) está à direita dessa reta.

Passo 3

Calculamos o parâmetro p como a distância horizontal entre o vértice e a direttriz: p = |4 − (−3)| = 7.

Passo 4

O foco fica p unidades à direita do vértice, mantendo a mesma coordenada y. Logo, foco = (4 + 7, 1) = (11,1).

Passo 5

Usamos a forma reduzida de uma parábola que abre horizontalmente, com vértice em (h,k) e parâmetro p:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Substituindo h = 4, k = 1 e p = 7, obtemos
(y - 1)^2 = 4 cdot 7 ,(x - 4) = 28(x - 4)
.

Passo 6

Para esboçar: marcamos o vértice em (4,1), o foco em (11,1) e a direttriz x = -3. A parábola abre para a direita e é simétrica em relação à reta y = 1.

Resposta

(y - 1)^2 = 28(x - 4)

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