Seja b: E times E R uma forma bilinear anti-simétrica no espaço vetorial E, de dimensão finita. Prove que as seguintes afirmações sobre b são equivalentes:
(1) Tem-se b=f wed>= g, onde f, g in E^*.
(2) Existe uma base V=v1, ldots, vn subset E tal que b(vi, vj)=0 se i, j neq1,2.
Conclua que toda forma bilinear em R^3 é do tipo b=f wed>= g. E em R^4 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma forma bilinear anti-simétrica b: Etimes EtoR em um espaço vetorial E de dimensão finita, e pede para mostrar que estas duas condições são equivalentes: b=fwed>= g com f,gin E^*; e que existe base v1,dots,vn tal que b(vi,vj)=0 sempre que i,jneq1,2. Para isso vamos precisar do conceito de produto externo (wedge) de 1-formas e da classificação de formas bilineares anti-simétricas pelo posto (rank).

Passo 2

Primeiro, mostro que (1) implica (2). Se b=fwed>= g, então por definição
b(x,y)=f(x),g(y)-f(y),g(x),

Passo 3

Se e forem dependentes, digamos , então , o que cai no caso trivial: em qualquer base todos .
Se e forem independentes, podemos completar um sistema de elementos de para formar base. De fato, escolho vetores tais que
b(v_i,v_j)=0\quadpara todo par{i,j}\neq{1,2}.$$

Passo 4

Além disso, diretamente pela definição
$ b(v1,v2)=f(v1)g(v2)-f(v2)g(v1)=1cdot1-0cdot0=1,, 1,21,2$ trocados mudam apenas o sinal (por anti-simetria). Logo (2) se cumpre.

Passo 5

Agora mostro que (2) implica (1). Suponha que existe base vi tal que as únicas entradas não nulas de b(vi,vj) ocorrem em 1,2. Defina f,gin E^* via os funcionais lineares duals à base:
f(vi)=de<ai1, g(vi)=de<ai2

Passo 6

Então o 2-forma [f\wedge g) satisfaz
$ áf\wedge g ãéãêE\times E b=f\wedge g$, o que mostra (1).

Passo 7

Para concluir, basta usar um fato padrão de formas bilineares anti-simétricas: em dimensão n o posto (rank) de b é sempre um número par 2k<= n. Quando n=3 só temos as possibilidades de posto 0 ou 2. Em ambos os casos b é decomponível como fwed>= g. Já em R^4 podemos ter posto 4, isto é, a forma pode ser uma 2-forma «simplicial» de posto máximo e, nesse caso, não se escreve como fwed>= g (ela é soma de dois wedges independentes).

Resposta

Em R^3 toda forma bilinear antissimétrica tem posto 0 ou 2, logo é sempre do tipo fwed>= g. Em R^4 pode ter posto 4, portanto existem formas não-decomponíveis e nem toda forma é um único fwed>= g.

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