Seja
uma forma bilinear anti-simétrica no espaço vetorial
, de dimensão finita. Prove que as seguintes afirmações sobre b são equivalentes:
(1) Tem-se
, onde
.
(2) Existe uma base
tal que
se
.
Conclua que toda forma bilinear em
é do tipo
. E em
?
(1) Tem-se
(2) Existe uma base
Passo 1
O enunciado diz que temos uma forma bilinear anti-simétrica
em um espaço vetorial
de dimensão finita, e pede para mostrar que estas duas condições são equivalentes:
com
; e que existe base
tal que
sempre que
. Para isso vamos precisar do conceito de produto externo (wedge) de 1-formas e da classificação de formas bilineares anti-simétricas pelo posto (rank).
Passo 2
Primeiro, mostro que (1) implica (2). Se
, então por definição
Passo 3
Se
e
forem dependentes, digamos
, então
, o que cai no caso trivial: em qualquer base todos
.
Se e
forem independentes, podemos completar um sistema de elementos de
para formar base. De fato, escolho vetores
tais que
Se
b(v_i,v_j)=0\quadpara todo par{i,j}\neq{1,2}.$$
Passo 4
Além disso, diretamente pela definição
$
1,2$ trocados mudam apenas o sinal (por anti-simetria). Logo (2) se cumpre.
Passo 5
Agora mostro que (2) implica (1). Suponha que existe base
tal que as únicas entradas não nulas de
ocorrem em
. Defina
via os funcionais lineares duals à base:
Passo 6
Então o 2-forma [f\wedge g) satisfaz
$
f\wedge g
E\times E
b=f\wedge g$, o que mostra (1).
Passo 7
Para concluir, basta usar um fato padrão de formas bilineares anti-simétricas: em dimensão
o posto (rank) de
é sempre um número par
. Quando
só temos as possibilidades de posto
ou
. Em ambos os casos
é decomponível como
. Já em
podemos ter posto
, isto é, a forma pode ser uma 2-forma «simplicial» de posto máximo e, nesse caso, não se escreve como
(ela é soma de dois wedges independentes).
Resposta
Em
toda forma bilinear antissimétrica tem posto
ou
, logo é sempre do tipo
. Em
pode ter posto
, portanto existem formas não-decomponíveis e nem toda forma é um único
.