Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.19
6 y^3+12 y^2 z, 6 y^2-24 z^2, 4 y^2-4 y z-24 z^2

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A questão pede para a gente encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) de três polinômios em duas variáveis. O assunto envolvido é fatoração de polinômios e a definição de MDC/MMC no contexto algébrico. Vamos precisar fatorar completamente cada polinômio, depois usar as regras de expoentes e coeficientes para calcular MDC e MMC.

Passo 2

Fatoração de cada polinômio:
– Para o primeiro polinômio
6y^3 + 12y^2z = 6y^2,(y + 2z)
– Para o segundo polinômio
6y^2 - 24z^2 = 6,(y^2 - 4z^2) = 6,(y - 2z),(y + 2z)
– Para o terceiro polinômio
4y^2 - 4yz - 24z^2 = 4,(y^2 - yz - 6z^2) = 4,(y - 3z),(y + 2z)

Passo 3

Cálculo do MDC: Para encontrar o MDC de polinômios a gente pega cada fator comum a todos com o menor expoente e faz o gcd dos coeficientes numéricos. Os fatores lineares comuns são apenas (y + 2z) com expoente 1, e o gcd de 6,6,4 é 2. Logo
gcd = 2,(y + 2z)

Passo 4

Cálculo do MMC: Para o MMC a gente toma todos os fatores que aparecem em qualquer polinômio com o maior expoente e faz o lcm dos coeficientes. Os fatores são:
y^2 aparece só no primeiro com expoente 2,
(y - 2z) do segundo,
(y + 2z) que já usamos,
(y - 3z) do terceiro.
O lcm de 6,6,4 é 12. Então
lcm = 12,y^2,(y - 2z),(y + 2z),(y - 3z)

Resposta

MDC = 2(y + 2z) e MMC = 12y^2 (y - 2z)(y + 2z)(y - 3z)

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