Quais são os autovetores do operador de derivação D: C^infty(R) C^infty(R) ?

Passo 1

A questão pede para encontrar os autovetores do operador de derivação D que atua em funções suaves f:RtoR segundo D(f)=f'. Em linguagem de autovalores, buscamos todas as funções não-nulas fin C^infty(R) tais que D(f)=lambda f para algum lambdainR.

Passo 2

Para resolver, escrevemos a equação diferencial de autovalor:
f'(x)=lambda f(x)
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável. Integramos:
f'(x)f(x)=lambda Longrightarrow ln|f(x)|=lambda x + C1

Passo 3

Exponenciando, obtemos
$ f(x)=C e^lambda x, C=e^C1neq 0C=e^{C_1}\neq 0 lambda\lambda DD f(x)=C e^lambda xãçõf(x)=C e^{\lambda x} Cneq0C\neq0$.

Resposta

Os autovetores de D são todas as funções f(x)=C e^lambda x (com Cneq0), correspondendo ao autovalor lambda.

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