Sejam
operadores lineares não-negativos e
a raiz quadrada não-negativa de
. Prove:
(a) AB e XBX têm o mesmo polinômio característico, logo
.
(b) O operador XBX é não-negativo e
onde
são os autovalores de XBX.
(c) Conclua que
. Em particular,
é invertível.
(a) AB e XBX têm o mesmo polinômio característico, logo
(b) O operador XBX é não-negativo e
(c) Conclua que
Passo 1
Resumo: A e B são operadores lineares auto-adjuntos e não-negativos num espaço vetorial de dimensão n, e X é a raiz quadrada não-negativa de A, ou seja,
. Precisamos provar que: (a) AB e XBX têm o mesmo polinômico característico e, portanto,
; (b) XBX é auto-adjunto não-negativo e
, onde
são seus autovalores; (c) deduzir que
e, assim,
é invertível. Vamos usar a propriedade cíclica de determinantes e resultados espectrais de operadores auto-adjuntos.
Passo 2
Para (a), usamos a identidade cíclica de determinantes: para quaisquer operadores X,Y em dimensão finita vale
. Note que
e
e e
.
Aplicando a identidade cíclica com e
obtemos
.
Como o polinômio característico de um operador T é , o mesmo argumento mostra que AB e XBX têm idêntico polinômio característico.
e
e e
Aplicando a identidade cíclica com
Como o polinômio característico de um operador T é
Passo 3
Para (b), mostro que XBX é não-negativo. Para todo vetor
pois B e X são não-negativos. Logo XBX é auto-adjunto com autovalores reais não-negativos
.
Em seguida, como I+XBX é auto-adjunto, seu determinante é o produto dos seus autovalores:
Em seguida, como I+XBX é auto-adjunto, seu determinante é o produto dos seus autovalores:
Passo 4
Para (c), cada fator
pois
. Portanto
.
Como o determinante é não-nulo, concluímos que é invertível.
Como o determinante é não-nulo, concluímos que