Sejam A, B: E E operadores lineares não-negativos e X a raiz quadrada não-negativa de A. Prove:
(a) AB e XBX têm o mesmo polinômio característico, logo det(I+A B)=det(I+X B X).
(b) O operador XBX é não-negativo e
det(I+X B X)=prodi=1^n(1+lambdai),
onde lambda1, ldots, lambdan são os autovalores de XBX.
(c) Conclua que det(I+A B) >= 1. Em particular, I+A B é invertível.

Passo 1

Resumo: A e B são operadores lineares auto-adjuntos e não-negativos num espaço vetorial de dimensão n, e X é a raiz quadrada não-negativa de A, ou seja, X^2 = A. Precisamos provar que: (a) AB e XBX têm o mesmo polinômico característico e, portanto, det(I+AB)=det(I+XBX); (b) XBX é auto-adjunto não-negativo e det(I+XBX)=prodi=1^n(1+lambdai), onde lambdai são seus autovalores; (c) deduzir que det(I+AB)>=1 e, assim, I+AB é invertível. Vamos usar a propriedade cíclica de determinantes e resultados espectrais de operadores auto-adjuntos.

Passo 2

Para (a), usamos a identidade cíclica de determinantes: para quaisquer operadores X,Y em dimensão finita vale det(I+XY)=det(I+YX). Note que
AB = A,B = X^2B = X,(XB) = (XB)X
e
e e
XBX = X,(BX).
Aplicando a identidade cíclica com Xmapsto X e Ymapsto BX obtemos
det(I+AB)=detl(I+(XB)Xr)=detl(I+X(BX)r)=det(I+XBX).
Como o polinômio característico de um operador T é det(tI - T), o mesmo argumento mostra que AB e XBX têm idêntico polinômio característico.

Passo 3

Para (b), mostro que XBX é não-negativo. Para todo vetor v
lang<= v, XBX,vrang<= = lang<= Xv, B(Xv)rang<= >= 0,
pois B e X são não-negativos. Logo XBX é auto-adjunto com autovalores reais não-negativos lambda1,dots,lambdan.
Em seguida, como I+XBX é auto-adjunto, seu determinante é o produto dos seus autovalores:
det(I+XBX)=prodi=1^n(1+lambdai)

Passo 4

Para (c), cada fator 1+lambdai>=1 pois lambdai>=0. Portanto
det(I+AB)=det(I+XBX)=prodi=1^n(1+lambdai)>=1.
Como o determinante é não-nulo, concluímos que I+AB é invertível.

Resposta

det(I+AB)>=1, logo I+AB é invertível.

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