Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(25 \ln \cos 2 x)

Passo 1

O enunciado dá
f(x) = 25 \ln\bigl(\cos(2x)\bigr)
e pede a derivada f'(x). Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de \ln(u), que é u'/u.

Passo 2

Defina u(x)=\cos(2x). Então
f(x)=25\ln\bigl(u(x)\bigr)
e, pela regra da derivada do logaritmo,
f'(x)=25\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Precisamos de u'(x). Como u(x)=\cos(2x), pela regra da cadeia na derivada do cosseno:
u'(x) = -\sin(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x) = -\sin(2x)\cdot2 = -2\sin(2x).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=25\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}, obtemos
f'(x) = 25\cdot\frac{-2\sin(2x)}{\cos(2x)} = -50\,\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = -50\tan(2x).

Resposta

f'(x) = -50\tan(2x).

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