Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(26 \cos (\ln 2 x))

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=26\cos\bigl(\ln(2x)\bigr)
e pede f'(x). Aqui vamos usar a regra da cadeia e a derivada de \ln(2x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\ln(2x)
e a função externa
v(u)=\cos(u),
de modo que f(x)=26\,v\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Como
u(x)=\ln(2x)=\ln2+\ln x,
temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=26\;v'\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x).
Como v'(u)=-\sin(u), obtemos
f'(x)=26\bigl(-\sin\bigl(\ln(2x)\bigr)\bigr)\cdot\frac1x =-\frac{26}{x}\,\sin\bigl(\ln(2x)\bigr).

Resposta

f'(x)=-\frac{26}{x}\,\sin\bigl(\ln(2x)\bigr).

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