Determine as raízes das equações de acordo com o estabelecido.
(c)
tem uma raiz igual ao simétrico da outra.
(c)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e diz que ela tem duas raízes simétricas em relação à origem (ou seja, se uma é
, a outra é
). Vamos reconhecer que isso significa que a soma das raízes é zero e usar as fórmulas de Viète para encontrar primeiro
e depois as raízes.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma geral de um polinômio igual a zero, temos
ou seja,
Agrupando termos semelhantes,
Passo 3
Pela condição de raízes simétricas, a soma das raízes deve ser zero. Mas pela fórmula de Viète, a soma das raízes é
Para que isso seja zero, basta que o numerador seja zero:
Passo 4
Com
, o coeficiente de
fica
e o coeficiente de
zera (pois
). A equação reduz-se a
Passo 5
Concluímos que, para
, as duas raízes são exatamente
que são simétricas em relação à origem, como exigido.
Resposta
As raízes são
e
, obtidas quando
.