Determine as raízes das equações de acordo com o estabelecido.
(c) p(x^2+3 x-9)=x-x^2 tem uma raiz igual ao simétrico da outra.

Passo 1

O enunciado dá a equação
pl(x^2+3x-9r)=x - x^2
e diz que ela tem duas raízes simétricas em relação à origem (ou seja, se uma é a, a outra é -a). Vamos reconhecer que isso significa que a soma das raízes é zero e usar as fórmulas de Viète para encontrar primeiro p e depois as raízes.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma geral de um polinômio igual a zero, temos
p x^2 + 3p x -9p = x - x^2
ou seja,
p x^2 + 3p x -9p - x + x^2 = 0
Agrupando termos semelhantes,
(p+1),x^2 ;+;(3p-1),x;-;9p ;=;0

Passo 3

Pela condição de raízes simétricas, a soma das raízes deve ser zero. Mas pela fórmula de Viète, a soma das raízes é
-coeficiente de xcoeficiente de x^2 =-3p-1,p+1,
Para que isso seja zero, basta que o numerador seja zero:
3p-1=0 Longrightarrow p=tfrac13

Passo 4

Com p=tfrac13, o coeficiente de x^2 fica p+1=tfrac13+1=tfrac43 e o coeficiente de x zera (pois 3p-1=0). A equação reduz-se a
43,x^2-3=0 Longrightarrow x^2=3cdot34=94 Longrightarrow x=pm32

Passo 5

Concluímos que, para p=tfrac13, as duas raízes são exatamente
x1=32 e x2=-32,
que são simétricas em relação à origem, como exigido.

Resposta

As raízes são x=dfrac32 e x=-dfrac32, obtidas quando p=dfrac13.

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