Resolva as seguintes equações por fatoração.
(i) 2 x-1x+2+x+22 x-1=103

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
2x-1x+2 ;+;x+22x-1 ;=;103
O conteúdo envolve manipular frações, obter uma equação polinomial de segundo grau e usar fatoração ou fórmula de Bhaskara. Note que o domínio exige xneq -2 e xneq tfrac12 para não anular denominadores.

Passo 2

Somamos as duas frações do lado esquerdo usando denominador comum:
2x-1x+2 + x+22x-1 = (2x-1)^2 + (x+2)^2(x+2)(2x-1)

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 3(x+2)(2x-1) para eliminar denominadores:
3l((2x-1)^2 + (x+2)^2r) = 10,(x+2)(2x-1)

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(2x-1)^2 + (x+2)^2 = (4x^2 -4x +1) + (x^2 +4x +4) = 5x^2 +5,
3(5x^2 +5) = 15x^2 +15,
10(x+2)(2x-1) = 10(2x^2 +3x -2) = 20x^2 +30x -20
Logo a igualdade vira
15x^2 +15 = 20x^2 +30x -20

Passo 5

Reúnimos termos para formar a equação quadrática:
15x^2 +15 -20x^2 -30x +20 = 0 ;Longrightarrow; -5x^2 -30x +35 = 0 ;Longrightarrow; 5x^2 +30x -35 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 30^2 -4cdot5cdot(-35) = 900 +700 =1600
As raízes são
x = -30 pm raiz16002cdot5 = -30 pm 4010,
isto é, x=1 ou x=-7.

Passo 6

Verificamos no domínio original: xneq -2 e xneq tfrac12. Como 1 e -7 não violam essas condições, ambas são soluções válidas.

Resposta

x=1 ou x=-7

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