Determine as raízes das equações de acordo com o estabelecido.
(b) x^2-3(x-p)-2=0 tem uma raiz igual ao dobro da outra menos 3 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2 - 3(x - p) - 2 = 0
e afirma que, se as raízes são alpha e beta, vale
beta = 2alpha - 3
O conteúdo é aplicação das relações de Viète para achar alpha, beta e o parâmetro p.

Passo 2

Pela soma das raízes (coeficiente de x é -3, logo soma é +3), temos
alpha + beta = 3
Substituindo beta = 2alpha - 3 nessa soma, vem
alpha + (2alpha - 3) = 3

Passo 3

Resolvendo a equação do passo anterior:
3alpha - 3 = 3 Longrightarrow 3alpha = 6 Longrightarrow alpha = 2

Passo 4

Agora beta = 2alpha - 3
beta = 2cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1

Passo 5

Pela relação do produto das raízes (termo constante sobre coeficiente principal), temos
alpha,beta = 3p - 2
Como alpha=2 e beta=1, segue
2cdot 1 = 3p - 2 Longrightarrow 3p = 4 Longrightarrow p = tfrac43

Resposta

As raízes são 2 e 1 (com p = tfrac43).

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