Determine as raízes das equações de acordo com o estabelecido.
(d) (m+3) x^2+2 m(x+1)+3=0 tem uma raiz igual à metade do inverso da outra.

Passo 1

O enunciado dá a equação paramétrica
(m+3)x^2 + 2m(x+1) + 3 = 0
e diz que uma raiz é igual à metade do inverso da outra. Vamos usar aqui as fórmulas de soma e produto das raízes de uma equação quadrática ax^2+bx+c=0:
r1 + r2 = -ba, r1,r2 = ca

Passo 2

Se uma raiz é igual à metade do inverso da outra, digamos
r1 = 12,r2,
então multiplicando ambos os lados por r2 obtemos
r1,r2 = 12

Passo 3

Na nossa equação temos
a = m+3, b = 2m, c = 2m+3
logo
r1,r2 = ca = 2m+3m+3
Igualando ao valor exigido,
2m+3m+3 = 12
fazendo produto cruzado,
2,(2m+3) = m+3 Longrightarrow 4m+6 = m+3 Longrightarrow 3m = -3 Longrightarrow m = -1

Passo 4

Para m=-1 os coeficientes viram
a = -1+3 = 2, b = 2(-1) = -2, c = 2(-1)+3 = 1
As raízes são dadas pela fórmula
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -(-2)pm raiz(-2)^2 - 4cdot2cdot12cdot2 = 2pm raiz4-84 = 2pm raiz-44 = 2pm 2i4 = 1pm i2

Resposta

m = -1
As raízes são x1 = 1+i2 e x2 = 1-i2.

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