Determine as raízes das seguintes equações:
(2 x+1)(3 x-2)^3(2 x-5)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da equação do 3º grau (na verdade de grau 5, contando multiplicidades) dada por
(2x+1)(3x-2)^3(2x-5)=0
O conteúdo principal é o princípio da equação produto nulo: se um produto de fatores é zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero.

Passo 2

Como o produto é zero, basta achar os valores de x que anulam cada fator. Temos três fatores: 2x+1, (3x-2)^3 e 2x-5.

Passo 3

Para cada fator, resolvemos:
2x+1=0,
(3x-2)^3=0,
2x-5=0

Passo 4

Resolvendo cada uma:
  • De 2x+1=0 vem 2x=-1, logo x=-tfrac12.
  • De (3x-2)^3=0 vem diretamente 3x-2=0, logo x=tfrac23. Note que essa raiz tem multiplicidade 3.
  • De 2x-5=0 vem 2x=5, logo x=tfrac52.

Passo 5

Reunindo todas as soluções e suas multiplicidades, as raízes são
x=-tfrac12 (simples), x=tfrac23 (multiplicidade 3) e x=tfrac52 (simples).

Resposta

As raízes são x = -\tfrac12, x = \tfrac23 (com multiplicidade 3) e x = \tfrac52.

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