Determine os valores de k para os quais:
x^5+4 k x-4 k^2=0 tem x=2 para raiz.

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para os quais x=2 é raiz do polinômio P(x)=x^5+4k x-4k^2. Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que se a é raiz de P(x), então P(a)=0.

Passo 2

Substituindo x=2 em P(x) e impondo zero temos:
2^5 + 4kcdot2 - 4k^2 = 0

Passo 3

Simplificando a expressão obtemos:
-4k^2 + 8k + 32 = 0
Reorganizando em forma de equação quadrática:
k^2 - 2k - 8 = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara à equação k^2 - 2k - 8 = 0:
k = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-8)2cdot1 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62
Logo, k = 4 ou k = -2.

Resposta

k = 4 ou k = -2

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