Se a diferença de dois números é 22 , quais são os números cujo produto é o menor possível?

Passo 1

Resumo do problema e o que precisamos: temos dois números cuja diferença é 22 e queremos encontrar esses números de modo que o produto seja o menor possível. O tema é otimização de função quadrática de uma variável, e vamos usar completar o quadrado (ou derivada) para achar o mínimo.

Passo 2

Modelagem da situação: seja um número qualquer y e o outro número x, com
x - y = 22
Logo, podemos escrever
x = y + 22
O produto dos dois números é
P(y) = x cdot y = y(y + 22) = y^2 + 22y

Passo 3

Completar o quadrado para achar o mínimo de P(y):
P(y) = y^2 + 22y = (y + 11)^2 - 121
Como (y + 11)^2 é sempre não negativo, o menor valor de P(y) ocorre quando y + 11 = 0, ou seja y = -11.

Passo 4

Determinar o outro número e concluir: se y = -11, então
x = y + 22 = -11 + 22 = 11
Portanto, os números que minimizam o produto são 11 e -11, e o produto mínimo é -121.

Resposta

11 e -11

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