Quais os dois números reais cuja soma é igual a 8 e a soma dos seus quadrados é 56 no mínimo e, 104 no máximo?
Quais os números inteiros que satisfazem a esta propriedade?
Passo 1
O enunciado pede para achar dois números reais
e
tais que
e a soma dos quadrados
atinja dois valores extremos: o mínimo igual a 56 e o máximo igual a 104. Vamos usar o método de substituição em sistemas de equações e solução de equações quadráticas para encontrar essas soluções.
Passo 2
Para encontrar os números que fazem
, escrevemos
a partir de
e substituímos:
Expandindo e simplificando:
Dividindo por 2 e resolvendo:
Então as soluções são
ou
.
ou
Passo 3
Para encontrar os números que fazem
, fazemos o mesmo:
Dividindo por 2 e resolvendo:
Logo
ou
.
ou
Passo 4
Das quatro soluções acima, apenas
e
são pares de números inteiros. Os outros valores envolvem
e não são inteiros.
Resposta
Soluções reais para soma dos quadrados =56: (4+2√3, 4–2√3) e (4–2√3, 4+2√3). Para soma dos quadrados =104: (10, –2) e (–2, 10). Os únicos inteiros que satisfazem são –2 e 10.