Quais os dois números reais cuja soma é igual a 8 e a soma dos seus quadrados é 56 no mínimo e, 104 no máximo?
Quais os números inteiros que satisfazem a esta propriedade?

Passo 1

O enunciado pede para achar dois números reais x e y tais que x+y=8 e a soma dos quadrados x^2+y^2 atinja dois valores extremos: o mínimo igual a 56 e o máximo igual a 104. Vamos usar o método de substituição em sistemas de equações e solução de equações quadráticas para encontrar essas soluções.

Passo 2

Para encontrar os números que fazem x^2+y^2=56, escrevemos y=8-x a partir de x+y=8 e substituímos:
x^2+(8-x)^2=56
Expandindo e simplificando:
2x^2-16x+64=56
2x^2-16x+8=0
Dividindo por 2 e resolvendo:
x^2-8x+4=0
x=8pmraiz64-162=8pm4raiz32=4pm2raiz3
Então as soluções são
x=4+2raiz3,;y=4-2raiz3
ou
x=4-2raiz3,;y=4+2raiz3.

Passo 3

Para encontrar os números que fazem x^2+y^2=104, fazemos o mesmo:
x^2+(8-x)^2=104
2x^2-16x+64=104
2x^2-16x-40=0
Dividindo por 2 e resolvendo:
x^2-8x-20=0
x=8pmraiz64+802=8pm122implies x=10 ou x=-2
Logo
x=10,;y=-2
ou
x=-2,;y=10.

Passo 4

Das quatro soluções acima, apenas -2,10 e (10,-2) são pares de números inteiros. Os outros valores envolvem raiz3 e não são inteiros.

Resposta

Soluções reais para soma dos quadrados =56: (4+2√3, 4–2√3) e (4–2√3, 4+2√3). Para soma dos quadrados =104: (10, –2) e (–2, 10). Os únicos inteiros que satisfazem são –2 e 10.

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