Quando dois carros movem-se em uma pista circular de uma milha partindo do mesmo ponto no mesmo instante, eles cruzam-se a cada 18 segundos quando percorrem a pista em direções opostas e ocorre uma ultrapassagem a cada 90 segundos quando se deslocam na mesma direção. Determine suas velocidades em milhas/hora.

Passo 1

O enunciado diz que dois carros partem juntos de um ponto de uma pista circular de 1 milha. Eles se cruzam a cada 18 segundos quando vão em direções opostas e há uma ultrapassagem a cada 90 segundos quando seguem na mesma direção. O conteúdo aqui é movimento relativo em pista circular, usando soma e diferença de velocidades para transformar tempos de encontro em equações.

Passo 2

Quando os carros se movem em direções opostas, suas velocidades relativas se somam. Chamando de v1 e v2 as velocidades em mi/h, o tempo entre encontros é
Topp = distânciav1 + v2 â
Como Topp=18 s =18/3600 h e a distância é 1 mi, temos
v1 + v2 = 118/3600 = 200

Passo 3

Quando os carros seguem na mesma direção, usa-se a diferença de velocidades. O tempo entre ultrapassagens é
Tsame = distância|v1 - v2| â
Com Tsame=90 s =90/3600 h e distância 1 mi, obtemos
|v1 - v2| = 190/3600 = 40
Assumindo v1>v2, fica
v1 - v2 = 40

Passo 4

Resolvendo o sistema
v1 + v2 = 200, v1 - v2 = 40,
somamos as duas equações para achar 2v1 = 240, logo
v1 = 120 mi/h
Substituindo em v1 + v2 = 200
v2 = 200 - 120 = 80 mi/h

Resposta

v1 = 120 mi/h e v2 = 80 mi/h.

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