Efetue as divisões indicadas.
4 x^3 y+5 x^2 y^2+x^4+2 x y^3x^2+2 y^2+3 x y

Passo 1

O enunciado pede a divisão do polinômio
P(x,y)=4x^3y+5x^2y^2+x^4+2xy^3
pelo polinômio
Q(x,y)=x^2+3xy+2y^2
O método é a divisão de polinômios multivariados, adotando ordem lexicográfica onde monômios são comparados primeiro pelo grau em x.

Passo 2

Reescrevendo em ordem decrescente de x:
P(x,y)=x^4+4x^3y+5x^2y^2+2xy^3, Q(x,y)=x^2+3xy+2y^2
  1. Dividimos o termo líder de P, que é x^4, pelo termo líder de Q, que é x^2, obtendo
x^4x^2=x^2
  1. Multiplicamos Q por x^2:
x^2cdot Q = x^4+3x^3y+2x^2y^2
  1. Subtraímos esse produto de P:
l(x^4+4x^3y+5x^2y^2r);-;l(x^4+3x^3y+2x^2y^2r) =x^3y+3x^2y^2,
e trazemos o +2xy^3, resultando no novo resto
R1(x,y)=x^3y+3x^2y^2+2xy^3

Passo 3

Repetimos o processo com R1:
  1. Dividimos o termo líder x^3y pelo líder x^2 de Q, obtendo
x^3yx^2=xy
  1. Multiplicamos Q por xy:
xycdot Q = x^3y+3x^2y^2+2xy^3
  1. Subtraímos de R1, obtendo resto zero.
Como o resto é zero, a divisão exata termina aqui.

Resposta

4x^3y+5x^2y^2+x^4+2xy^3,x^2+3xy+2y^2, = x^2 + xy

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