Encontre as cotas inferior e superior para as raízes reais de cada equação.
2 x^4+5 x^2-6 x-14=0

Passo 1

O enunciado pede cotas inferior e superior para as raízes reais da equação
2x^4+5x^2-6x-14=0
Vamos usar:
1. A regra de Descartes para contar raízes positivas e negativas.
2. O teste de Bolzano (sinal de f(a),f(b)<0) para localizar raízes em intervalos.
3. A síntese de sinais (divisão sintética) para obter cota superior de raízes positivas e, aplicando em p(-x), cota inferior de raízes.

Passo 2

Contagem de raízes pela regra de Descartes:
– Em f(x)=2x^4+5x^2-6x-14 há uma variação de sinal (“ +” para “–”) Rightarrow exatamente uma raiz positiva.
– Em f(-x)=2x^4+5x^2+6x-14 há também uma variação Rightarrow exatamente uma raiz negativa.

Passo 3

Cota superior para a única raiz positiva.
Fazemos divisão sintética de f(x) por x-2, isto é, avaliamos os quocientes gerados por c=2:
coeficientes de f: 2,;0,;5,;-6,;-14
– trazemos 2.
– multiplicamos por 2: 2cdot2=4, somamos a 0 obtendo 4.
4cdot2=8, somamos a 5 obtendo 13.
13cdot2=26, somamos a -6 obtendo 20.
20cdot2=40, somamos a -14 obtendo 26.
Todos os quocientes são positivos Rightarrow não há raiz >2.
Logo a raiz positiva satisfaz x<2.

Passo 4

Cota inferior para a raiz positiva.
Calculamos f(1) e vemos o sinal:
f(1)=2cdot1^4+5cdot1^2-6cdot1-14=2+5-6-14=-13<0,
e já sabemos f(2)=26>0. Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, existe uma raiz no intervalo (1,2). Portanto a raiz positiva satisfaz x>1.

Passo 5

Cotas para a única raiz negativa.
1. Para cota inferior de raízes de f(x), aplicamos a mesma divisão sintética em p(-x), que tem coeficientes 2,0,5,6,-14, com c=2. Isso dá restos todos positivos Rightarrow nenhuma raiz < -2. Logo raiz>-2.
2. Calculamos f(-1) e f(-2):
f(-1)=2+5+6-14=-1<0, f(-2)=32+20+12-14=50>0
Como f(-2) e f(-1) têm sinais opostos, existe raiz em (-2,-1).

Resposta

A equação tem
– uma raiz positiva em (1,2);
– uma raiz negativa em (-2,-1).

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