Encontre as cotas inferior e superior para as raízes reais de cada equação.
Passo 1
O enunciado pede cotas inferior e superior para as raízes reais da equação
Vamos usar:
. A regra de Descartes para contar raízes positivas e negativas.
. O teste de Bolzano (sinal de
) para localizar raízes em intervalos.
. A síntese de sinais (divisão sintética) para obter cota superior de raízes positivas e, aplicando em
, cota inferior de raízes.
Passo 2
Contagem de raízes pela regra de Descartes:
– Em há uma variação de sinal (“
” para “–”)
exatamente uma raiz positiva.
– Em há também uma variação
exatamente uma raiz negativa.
– Em
– Em
Passo 3
Cota superior para a única raiz positiva.
Fazemos divisão sintética de por
, isto é, avaliamos os quocientes gerados por
:
coeficientes de :
– trazemos .
– multiplicamos por :
, somamos a
obtendo
.
– , somamos a
obtendo
.
– , somamos a
obtendo
.
– , somamos a
obtendo
.
Todos os quocientes são positivos não há raiz
.
Logo a raiz positiva satisfaz .
Fazemos divisão sintética de
coeficientes de
– trazemos
– multiplicamos por
–
–
–
Todos os quocientes são positivos
Logo a raiz positiva satisfaz
Passo 4
Cota inferior para a raiz positiva.
Calculamos e vemos o sinal:
Calculamos
e já sabemos
. Como
e
têm sinais opostos, existe uma raiz no intervalo
. Portanto a raiz positiva satisfaz
.
Passo 5
Cotas para a única raiz negativa.
. Para cota inferior de raízes de
, aplicamos a mesma divisão sintética em
, que tem coeficientes
, com
. Isso dá restos todos positivos
nenhuma raiz
. Logo
.
. Calculamos
e
:
Como
e
têm sinais opostos, existe raiz em
.
Resposta
A equação tem
– uma raiz positiva em ;
– uma raiz negativa em .
– uma raiz positiva em
– uma raiz negativa em