Esboce os subconjuntos do plano:
C=(x, y) mid y^2-2 y <= x <=-y^2+y-1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto C=(x,y)mid y^2-2y<= x<= -y^2+y-1. Aqui estamos em geometria analítica no plano, e vamos precisar reconhecer que essas duas expressões em x definem duas parábolas cujas curvas fazem as fronteiras de C.

Passo 2

Primeiro vamos identificar cada fronteira como uma parábola e pôr em forma de vértice. A fronteira esquerda é
x=y^2-2y=(y-1)^2-1,
que é uma parábola com vértice em (-1,1) abrindo para a direita. A fronteira direita é
$ x=-y^2+y-1=-(y-tfrac12)^2-tfrac34, (-tfrac34,tfrac12)é(-\tfrac34,\tfrac12)$ e abre para a esquerda.

Passo 3

Para saber onde as duas parábolas se cruzam, igualamos as expressões:
y^2-2y=-y^2+y-1Longrightarrow 2y^2-3y+1=0
Resolvendo,
y=1ou y=tfrac12

Passo 4

Substituindo em x=y^2-2y (ou na outra, dá o mesmo), obtemos os pontos de interseção
(x,y)=(-1,1)e(-tfrac34,tfrac12)

Passo 5

Concluímos que para y entre 1/2 e 1 o valor de x varia de y^2-2y até -y^2+y-1, e fora desse intervalo de y o conjunto C está vazio.
No esboço, desenhe os dois ramos parabólicos, marque os vértices e os pontos de interseção e pinte a região em formato de lente entre as curvas para 1/2<= y<=1.

Resposta

O conjunto C é a região fechada em forma de lente, limitada à esquerda pela parábola x=(y-1)^2-1 e à direita por x=-(y-tfrac12)^2-tfrac34, entre os pontos de interseção (-3/4,1/2) e (-1,1). Desenhe-as e sombreie todo ponto que esteja entre essas curvas para 1/2<= y<=1.

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