Resolva em C as seguintes equações
(e) z^4=12+raiz32 i

Passo 1

O enunciado pede para resolver em C a equação z^4 = 12 + raiz32 i. Precisaremos usar a forma polar de um número complexo e a fórmula das raízes n-ésimas.

Passo 2

Vamos expressar tfrac12 + tfracraiz32 i em forma polar. Seu módulo é
|tfrac12 + tfracraiz32 i| = raizl(tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2 = 1
E seu argumento principal é
argl(tfrac12 + tfracraiz32 ir) = pi3 .

Passo 3

A fórmula geral para as raízes n-ésimas de um número rho e^itheta é
zk = rho^1/n l(costfractheta+2pi kn + isintfractheta+2pi knr), k=0,1,dots,n-1
No nosso caso, n=4, rho=1 e theta=pi/3.

Passo 4

Substituindo esses valores, obtemos
zk = cosl(tfracpi/3 + 2pi k4r) + isinl(tfracpi/3 + 2pi k4r), k=0,1,2,3 .

Passo 5

Listando as quatro soluções explícitas para k=0,1,2,3, temos
z0 = costfracpi12 + isintfracpi12, z1 = costfrac7pi12 + isintfrac7pi12, z2 = costfrac13pi12 + isintfrac13pi12, z3 = costfrac19pi12 + isintfrac19pi12 .

Resposta

e^i(pi/12 + kpi/2) : k=0,1,2,3

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