20.24 Escreva a equação polinomial de menor grau com coeficientes racionais tendo -1+raiz5 e-6 como duas de suas raízes.

SOLUÇÃO

[x-(-1+raiz5)][x-(-1-raiz5)](x+6)=(x^2+2 x-4)(x+6)=0 ou x^3+8 x^2+8 x-24=0

Passo 1

O exercício pede a equação polinomial de grau mínimo com coeficientes racionais cujas raízes incluem -1+raiz5 e -6. O conteúdo é teoria de polinômios e conjugados para garantir coeficientes racionais.

Passo 2

Como aparece a raiz irracional -1+raiz5, precisamos incluir também sua conjugada -1-raiz5 para que o polinômio tenha coeficientes racionais (teorema das raízes conjugadas).

Passo 3

Com as três raízes identificadas -1+raiz5, -1-raiz5 e -6, montamos os fatores lineares:
(x - (-1+raiz5)),(x - (-1-raiz5)),(x - (-6))
que simplificam para
(x+1-raiz5),(x+1+raiz5),(x+6)

Passo 4

Agora usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=x+1 e b=raiz5:
(x+1-raiz5)(x+1+raiz5)=(x+1)^2-(raiz5)^2=x^2+2x-4

Passo 5

Multiplicamos esse resultado por (x+6) e expandimos:
(x^2+2x-4)(x+6)=x^3+6x^2+2x^2+12x-4x-24=x^3+8x^2+8x-24

Resposta

x^3+8x^2+8x-24=0

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