Escreva a equação polinomial quártica com coeficientes racionais tendo como duas de suas raízes
e
Passo 1
O enunciado pede um polinômio quártico (grau 4) com coeficientes racionais que tenha como raízes 2 + i e 1 − √3. Vamos usar o conteúdo de teoria de raízes de polinômios de coeficientes racionais e a fatoração de quadráticos.
Passo 2
Como os coeficientes devem ser racionais, qualquer raiz não real ou irracional aparece com sua conjugada. Logo, além de 2 + i vem 2 − i; e além de 1 − √3 vem 1 + √3. Assim, as quatro raízes são: 2 ± i e 1 ± √3.
Passo 3
Agora montamos o polinômio como produto das “raízes pares” em quadráticos:
Fator 1:
Fator 1:
Fator 2:
Passo 4
O polinômio buscado é o produto desses dois quadráticos:
Basta agora expandir e coletar termos semelhantes:
Multiplicando termo a termo:
Multiplicando termo a termo:
Somando tudo: