Escreva a equação polinomial quártica com coeficientes racionais tendo como duas de suas raízes
2+i e 1-raiz3

Passo 1

O enunciado pede um polinômio quártico (grau 4) com coeficientes racionais que tenha como raízes 2 + i e 1 − √3. Vamos usar o conteúdo de teoria de raízes de polinômios de coeficientes racionais e a fatoração de quadráticos.

Passo 2

Como os coeficientes devem ser racionais, qualquer raiz não real ou irracional aparece com sua conjugada. Logo, além de 2 + i vem 2 − i; e além de 1 − √3 vem 1 + √3. Assim, as quatro raízes são: 2 ± i e 1 ± √3.

Passo 3

Agora montamos o polinômio como produto das “raízes pares” em quadráticos:
Fator 1:
(x-(2+i))(x-(2-i)) = (x-2)^2 - (i)^2 = (x-2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5
Fator 2:
(x-(1+raiz3))(x-(1-raiz3)) = (x-1)^2 - (raiz3)^2 = (x-1)^2 - 3 = x^2 - 2x - 2

Passo 4

O polinômio buscado é o produto desses dois quadráticos:
P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 - 2x - 2)
Basta agora expandir e coletar termos semelhantes:
Multiplicando termo a termo:
x^2cdot(x^2 - 2x - 2) = x^4 - 2x^3 - 2x^2,
-4xcdot(x^2 - 2x - 2) = -4x^3 + 8x^2 + 8x,
5cdot(x^2 - 2x - 2) = 5x^2 - 10x - 10
Somando tudo:
x^4 + (-2-4)x^3 + (-2+8+5)x^2 + (8-10)x + (-10) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 2x - 10

Resposta

x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 2x - 10

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