No espaço vetorial E, de dimensão finita, com produto interno, seja A v=lang<= v, arang<= b um operador de posto 1. Escreva a matriz de A numa base ortonormal que comece com u1=a /|a| e, a partir daí, determine o polinômio característico de A, seus autovetores e seus autovalores com as respectivas multiplicidades.

Passo 1

No primeiro passo, a gente resume o que o exercício pede. Temos um espaço vetorial real E de dimensão finita com produto interno e um operador A definido por A(v)=⟨v,a⟩\b, que sabemos ser de posto 1. Precisamos escolher uma base ortonormal (u₁,u₂,…,uₙ) com u₁=a/∥a∥ e escrever a matriz de A nessa base. Depois vamos achar o polinômio característico, os autovalores (com multiplicidades) e os autovetores.

Passo 2

Como a base é ortonormal, podemos escrever a-vetor a e o vetor b em coordenadas dessa base. De fato,
“a” está alinhado com u₁, pois u₁=a/∥a∥. Logo,
a=∥a∥,u₁

Passo 3

Para b, definimos os coeficientes
βi=⟨b,ui⟩,
de modo que
b=∑i=1^nβi,ui

Passo 4

Agora calculamos A(u_j) para todo j. Como A(u_j)=⟨u_j,a⟩b e ⟨u_j,a⟩=∥a∥⟨u_j,u₁⟩=∥a∥δ_{1j}, temos
“Se j=1, A(u₁)=∥a∥b=∥a∥∑_{i=1}^nβ_i
u_i. Se j≥2, A(u_j)=0.”
Isso mostra que, na base (u_i), a matriz M de A tem apenas a primeira coluna potencialmente não nula: seus vetores-coluna são
M1=(∥a∥β₁,∥a∥β₂,dots,∥a∥βn)^Te Mj=0 (j>=2)

Passo 5

Usando β₁=⟨b,u₁⟩=⟨b,a⟩/∥a∥, a primeira entrada fica ∥a∥β₁=⟨b,a⟩. Portanto, em forma matricial:
M=⟨b,a⟩ & 0 & cdots & 0∥a∥β₂ & 0 & cdots & 0⋮ & ⋮ & & ⋮∥a∥βn & 0 & cdots & 0

Passo 6

Para achar o polinômio característico, calculamos det(M−λI). Como todas as colunas exceto a primeira são zero, temos
det(M−λI)=(-λ)^n-1(⟨b,a⟩−λ)
Isso dá o polinômio
p(λ)=(-λ)^n-1(⟨b,a⟩-λ)

Passo 7

Os autovalores são as raízes de p(λ): λ=0 com multiplicidade n−1 e λ=⟨b,a⟩ com multiplicidade 1.

Passo 8

Para λ=⟨b,a⟩≠0, o autovetor satisfaz A(v)=⟨b,a⟩
v, ou seja ⟨v,a⟩b=⟨b,a⟩v. Como ⟨b,a⟩≠0, segue v∥b. Logo b é autovetor associado a ⟨b,a⟩.

Passo 9

Para λ=0, buscamos Ker
A={v:⟨v,a⟩=0}, que tem dimensão n−1. Qualquer vetor ortogonal a a (isto é, a todos v com ⟨v,a⟩=0) é autovetor de valor 0.

Passo 10

Resumo dos autovetores:
• Para λ=⟨b,a⟩: qualquer múltiplo de b.
• Para λ=0: qualquer vetor em (span{a})^⊥, ou seja, no subespaço ⟨v,a⟩=0.

Resposta

Matriz de A na base {u₁=u!/|a|,u₂,…,uₙ}:
M=⟨b,a⟩ & 0 & cdots & 0∥a|,β₂ & 0 & cdots & 0⋮ & ⋮ & & ⋮∥a,βn & 0 & cdots & 0,
onde β_i=⟨b,u_i⟩.
Polinômio característico:
p(λ)=(-λ)^n-1(⟨b,a⟩−λ)
Autovalores e multiplicidades:
• λ₁=⟨b,a⟩ (mult. 1)
• λ₂=0 (mult. n−1)
Autovetores:
• Para λ=⟨b,a⟩: vetores colineares a b.
• Para λ=0: vetores v tais que ⟨v,a⟩=0.

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