No espaço vetorial
, de dimensão finita, com produto interno, seja
b um operador de posto 1. Escreva a matriz de
numa base ortonormal que comece
, a partir daí, determine o polinômio característico de
, seus autovetores e seus autovalores com as respectivas multiplicidades.
Passo 1
No primeiro passo, a gente resume o que o exercício pede. Temos um espaço vetorial real E de dimensão finita com produto interno e um operador A definido por A(v)=⟨v,a⟩\b, que sabemos ser de posto 1. Precisamos escolher uma base ortonormal (u₁,u₂,…,uₙ) com u₁=a/∥a∥ e escrever a matriz de A nessa base. Depois vamos achar o polinômio característico, os autovalores (com multiplicidades) e os autovetores.
Passo 2
Como a base é ortonormal, podemos escrever a-vetor a e o vetor b em coordenadas dessa base. De fato,
“a” está alinhado com u₁, pois u₁=a/∥a∥. Logo,
“a” está alinhado com u₁, pois u₁=a/∥a∥. Logo,
Passo 3
Para b, definimos os coeficientes
de modo que
Passo 4
Agora calculamos A(u_j) para todo j. Como A(u_j)=⟨u_j,a⟩b e ⟨u_j,a⟩=∥a∥⟨u_j,u₁⟩=∥a∥δ_{1j}, temos
“Se j=1, A(u₁)=∥a∥b=∥a∥∑_{i=1}^nβ_i
u_i. Se j≥2, A(u_j)=0.”
Isso mostra que, na base (u_i), a matriz M de A tem apenas a primeira coluna potencialmente não nula: seus vetores-coluna são
“Se j=1, A(u₁)=∥a∥b=∥a∥∑_{i=1}^nβ_i
u_i. Se j≥2, A(u_j)=0.”
Isso mostra que, na base (u_i), a matriz M de A tem apenas a primeira coluna potencialmente não nula: seus vetores-coluna são
Passo 5
Usando β₁=⟨b,u₁⟩=⟨b,a⟩/∥a∥, a primeira entrada fica ∥a∥β₁=⟨b,a⟩. Portanto, em forma matricial:
Passo 6
Para achar o polinômio característico, calculamos det(M−λI). Como todas as colunas exceto a primeira são zero, temos
Isso dá o polinômio
Passo 7
Os autovalores são as raízes de p(λ): λ=0 com multiplicidade n−1 e λ=⟨b,a⟩ com multiplicidade 1.
Passo 8
Para λ=⟨b,a⟩≠0, o autovetor satisfaz A(v)=⟨b,a⟩
v, ou seja ⟨v,a⟩b=⟨b,a⟩v. Como ⟨b,a⟩≠0, segue v∥b. Logo b é autovetor associado a ⟨b,a⟩.
v, ou seja ⟨v,a⟩b=⟨b,a⟩v. Como ⟨b,a⟩≠0, segue v∥b. Logo b é autovetor associado a ⟨b,a⟩.
Passo 9
Para λ=0, buscamos Ker
A={v:⟨v,a⟩=0}, que tem dimensão n−1. Qualquer vetor ortogonal a a (isto é, a todos v com ⟨v,a⟩=0) é autovetor de valor 0.
A={v:⟨v,a⟩=0}, que tem dimensão n−1. Qualquer vetor ortogonal a a (isto é, a todos v com ⟨v,a⟩=0) é autovetor de valor 0.
Passo 10
Resumo dos autovetores:
• Para λ=⟨b,a⟩: qualquer múltiplo de b.
• Para λ=0: qualquer vetor em (span{a})^⊥, ou seja, no subespaço ⟨v,a⟩=0.
• Para λ=⟨b,a⟩: qualquer múltiplo de b.
• Para λ=0: qualquer vetor em (span{a})^⊥, ou seja, no subespaço ⟨v,a⟩=0.
Resposta
Matriz de A na base {u₁=u!/|a|,u₂,…,uₙ}:
onde β_i=⟨b,u_i⟩.
Polinômio característico:
Polinômio característico:
Autovalores e multiplicidades:
• λ₁=⟨b,a⟩ (mult. 1)
• λ₂=0 (mult. n−1)
Autovetores:
• Para λ=⟨b,a⟩: vetores colineares a b.
• Para λ=0: vetores v tais que ⟨v,a⟩=0.
• λ₁=⟨b,a⟩ (mult. 1)
• λ₂=0 (mult. n−1)
Autovetores:
• Para λ=⟨b,a⟩: vetores colineares a b.
• Para λ=0: vetores v tais que ⟨v,a⟩=0.