Exercício 6.88 Seja
uma matriz Hermitiana. Mostre que
para todo elemento
.
Passo 1
O enunciado diz que
é hermitiana, ou seja
e pede para mostrar que, para todo vetor
, o escalar
é real. Vamos usar a propriedade de adjunta de produto e o fato de que um número complexo é real se e só se ele coincide com seu conjugado.
é real. Vamos usar a propriedade de adjunta de produto e o fato de que um número complexo é real se e só se ele coincide com seu conjugado.
Passo 2
Defina o escalar
Então o conjugado de
(ou adjunta, já que é
) é
Pelo fato geral
, temos
Passo 3
Como
é hermitiana,
. Além disso,
é o conjugado de
escrito na ordem inversa, mas para escalares essa inversão não altera nada. Logo
Passo 4
Concluímos que
coincide com seu conjugado,
. Mas um número complexo que é igual ao seu conjugado é exatamente um número real. Portanto
Resposta
Para todo
,
.