Exercício 6.88 Seja A in Mn(C) uma matriz Hermitiana. Mostre que x^* A x in R para todo elemento x in C^n.

Passo 1

O enunciado diz que AinMn(C) é hermitiana, ou seja
A = A^*,
e pede para mostrar que, para todo vetor xinC^n, o escalar
alpha = x^* A x
é real. Vamos usar a propriedade de adjunta de produto e o fato de que um número complexo é real se e só se ele coincide com seu conjugado.

Passo 2

Defina o escalar
alpha = x^* A x
Então o conjugado de alpha (ou adjunta, já que é 1times 1) é
alpha^* = l(x^* A xr)^*
Pelo fato geral (BC)^*=C^*B^*, temos
alpha^* = x^*^* , A^* , x^* = x^** , A^* , x^* = x , A^* , x^*

Passo 3

Como A é hermitiana, A^*=A. Além disso, x,A^*,x^* é o conjugado de x^*A x escrito na ordem inversa, mas para escalares essa inversão não altera nada. Logo
alpha^* = x,A,x^* = l(x^*A,xr) = alpha

Passo 4

Concluímos que alpha coincide com seu conjugado, alpha^*=alpha. Mas um número complexo que é igual ao seu conjugado é exatamente um número real. Portanto
x^* A x = alpha in R

Resposta

Para todo xinC^n, x^*AxinR.

Exercícios de Livros Relacionados