Exercício 15.2. Calcule (pelo método de sua escolha) a decomposição QR da ma triz A=[ll1 & 2 1 & 0 1 & 0].

Passo 1

O enunciado pede a decomposição QR da matriz
A = 1 & 2 1 & 0 1 & 0
Isso significa encontrar uma matriz Q com colunas ortonormais e uma matriz triangular superior R tais que A = QR. Vamos usar o método de Gram–Schmidt nas colunas de A.

Passo 2

Chamemos as colunas de A de
a1 = 111, a2 = 200
Aplicando Gram–Schmidt, primeiro definimos
v1 = a1,
e normalizamos para obter
q1 = v1|v1| = 1raiz1^2+1^2+1^2 111 = 1raiz3 111

Passo 3

Agora projetamos a2 sobre q1 e subtraímos dessa projeção para obter o componente ortogonal:
r12 = q1^T a2 = 1raiz3(1cdot2 + 1cdot0 + 1cdot0) = 2raiz3,
v2 = a2 - r12,q1 = 200 - 2raiz3cdot1raiz3 111 = 200 - 23111 = 4/3-2/3-2/3

Passo 4

Normalizamos v2 para obter q2. Primeiro calculamos
|v2| = raizl(tfrac43r)^2 + 2l(tfrac-23r)^2 = raiz169 + 89 = raiz249 = 2raiz63
Logo
q2 = v2|v2| = 1tfrac2raiz63 4/3-2/3-2/3 = 32raiz6 4/3-2/3-2/3 = 1raiz6 2-1-1

Passo 5

Agora montamos Q e R. Temos
Q = q1 & q2 = tfrac1raiz3 & tfrac2raiz6 tfrac1raiz3 & -tfrac1raiz6 tfrac1raiz3 & -tfrac1raiz6 ,
e como
r11 = |a1| = raiz3, r12 = 2raiz3, r22 = |v2| = 2raiz63,
a matriz triangular superior é
R = raiz3 & tfrac2raiz3[6pt] 0 & tfrac2raiz63 ]

Resposta

Q = 1raiz3 & 2raiz6 1raiz3 & -1raiz6 1raiz3 & -1raiz6 , R = raiz3 & 2raiz3[6pt] 0 & 2raiz63 ,
verificando que A = QR.]

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