Exercício 15.10. Mostre que x mapsto cos (n arccos (x)) é (a menos de um múltiplo) o n - 1 -ésimo polinômio de Tchebichev

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
Pn(x)=cosl(narccos(x)r)
é, à multiplicação por constante, o n-ésimo polinômio de Tchebichev de primeira espécie. O conteúdo envolve identidades trigonométricas (cosseno de múltiplos de ângulo) e a teoria de polinômios ortogonais em [-1,1] com peso (1-x^2)^-1/2.

Passo 2

Primeiro note que, para xin[-1,1], podemos escrever x=costheta com theta=arccos(x). Então
Pn(x)=cos(ntheta)
Da identidade de cosseno de soma repetida temos
cos(ntheta)=2costheta;cosl((n-1)thetar)-cosl((n-2)thetar)
Voltando a x=costheta, isso dá a recorrência
Pn(x)=2x,Pn-1(x)-Pn-2(x),
com condições iniciais
P0(x)=cos(0)=1, P1(x)=cos(theta)=x
Logo Pn é de fato um polinômio de grau n.

Passo 3

Os polinômios de Tchebichev Tn de primeira espécie são definidos exatamente como a solução dessa recorrência com T0(x)=1 e T1(x)=x. Pela unicidade da solução de uma relação de recorrência linear de segunda ordem, segue que
Pn(x)=Tn(x)
para todo n, ou seja, cos(narccos x) e Tn(x) coincidem.

Passo 4

Para reforçar que são os mesmos (à escolha de normalização), verifica-se a ortogonalidade em [-1,1] com peso (1-x^2)^-1/2. De fato, usando x=costheta e dx=-sintheta,dtheta, temos
integral-1^1Pn(x),Pm(x),dxraiz1-x^2 =integralpi^0cos(ntheta)cos(mtheta),(-dtheta) =integral0^picos(ntheta)cos(mtheta),dtheta,
que é zero sempre que nneq m. Isso coincide com a ortogonalidade definida para Tn.

Passo 5

Por fim, o coeficiente líder de Pn é 2^,n-1 (para n>=1), exatamente o mesmo de Tn. Portanto, não há sequer constante extra:
cosl(narccos(x)r)=Tn(x)

Resposta

Mostramos que cos(narccos(x)) satisfaz a recorrência, as condições iniciais e a ortogonalidade que definem Tn. Logo,
cosl(narccos(x)r)=Tn(x),
isto é, a menos de um múltiplo (na verdade já com a mesma normalização), é o n-ésimo polinômio de Tchebichev de primeira espécie.

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