Exercício 15.10. Mostre que
é (a menos de um múltiplo) o
- 1 -ésimo polinômio de Tchebichev
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é, à multiplicação por constante, o
-ésimo polinômio de Tchebichev de primeira espécie. O conteúdo envolve identidades trigonométricas (cosseno de múltiplos de ângulo) e a teoria de polinômios ortogonais em
com peso
.
Passo 2
Primeiro note que, para
, podemos escrever
com
. Então
Da identidade de cosseno de soma repetida temos
Voltando a
, isso dá a recorrência
com condições iniciais
Logo
é de fato um polinômio de grau
.
Passo 3
Os polinômios de Tchebichev
de primeira espécie são definidos exatamente como a solução dessa recorrência com
e
. Pela unicidade da solução de uma relação de recorrência linear de segunda ordem, segue que
para todo
, ou seja,
e
coincidem.
Passo 4
Para reforçar que são os mesmos (à escolha de normalização), verifica-se a ortogonalidade em
com peso
. De fato, usando
e
, temos
que é zero sempre que
. Isso coincide com a ortogonalidade definida para
.
Passo 5
Por fim, o coeficiente líder de
é
(para
), exatamente o mesmo de
. Portanto, não há sequer constante extra:
Resposta
Mostramos que
satisfaz a recorrência, as condições iniciais e a ortogonalidade que definem
. Logo,
isto é, a menos de um múltiplo (na verdade já com a mesma normalização), é o
-ésimo polinômio de Tchebichev de primeira espécie.