Exercício 15.1. Mostre que para todo i, j, Ri j=lang<=qi, alphajrang<=

Passo 1

O enunciado fala da fatoração A=QR, em que as colunas de A são alpha1,dots,alphan e as colunas ortonormais de Q são q1,dots,qn. Queremos mostrar que cada entrada Rij de R é o produto interno entre qi e alphaj, ou seja,
Rij=lang<=qi,alphajrang<=

Passo 2

Como Q tem colunas ortonormais, vale
Q^T Q = I
Multiplicando A=QR à esquerda por Q^T, obtemos
Q^T A ;=; Q^T(QR);=;(Q^T Q),R;=;I,R;=;R

Passo 3

Pela definição de multiplicação de matrizes, o elemento (i,j) de Q^T A é
(Q^T A)ij =sumk=1^m (Q^T)ik,Akj =sumk=1^m Qk i,Ak j
Mas sumkQk iAk j é exatamente o produto interno lang<= qi,alphajrang<=. Portanto
Rij=(Q^T A)ij=lang<=qi,alphajrang<=

Resposta

Concluímos que, para todo i,j,
Rij=lang<=qi,alphajrang<=

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