Exercício 15.9. Verifique, utilizando fórmulas trigonométricas, que x mapsto cos (n arccos (x)) é um polinômio em x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
x;mapsto;cosl(narccos(x)r)
é um polinômio em x. Vamos usar fórmulas trigonométricas de ângulo composto e indução para provar que
cos(ntheta) pode ser escrito como um polinômio em costheta. Em seguida, bastará substituir theta=arccos(x).

Passo 2

Começamos com a identidade trigonométrica de ângulo somado/ subtraído:
cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2cos(alpha)cos(beta)
Agora tomamos alpha=ktheta e beta=theta. Isso dá
cosl((k+1)thetar)+cosl((k-1)thetar) =2cos(ktheta),cos(theta),
ou, reorganizando,
cosl((k+1)thetar) =2cos(theta),cos(ktheta);-;cosl((k-1)thetar)

Passo 3

Definimos para cada inteiro n>=0 a função
Tn(x)=cosl(narccos(x)r)
Note que
T0(x)=cos(0)=1, T1(x)=cosl(arccos(x)r)=x,
que são polinômios em x (grau 0 e grau 1, respectivamente).

Passo 4

Usando a identidade do passo 2 com theta=arccos(x), temos
Tn+1(x) =cosl((n+1)arccos(x)r) =2cosl(arccos(x)r),cosl(narccos(x)r) -cosl((n-1)arccos(x)r),
isto é,
Tn+1(x)=2x,Tn(x)-Tn-1(x)
Como T0 e T1 são polinômios e a recorrência combina-os por soma e produto com x, segue por indução que Tn(x) é um polinômio de grau n.

Resposta

A função
xmapstocosl(narccos(x)r)
é exatamente o polinômio Tn(x) definido pela recorrência
T0(x)=1, T1(x)=x, Tn+1(x)=2x,Tn(x)-Tn-1(x),
portanto é um polinômio em x de grau n.

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