Exercício 15.9. Verifique, utilizando fórmulas trigonométricas, que
é um polinômio em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é um polinômio em
. Vamos usar fórmulas trigonométricas de ângulo composto e indução para provar que
pode ser escrito como um polinômio em
. Em seguida, bastará substituir
.
Passo 2
Começamos com a identidade trigonométrica de ângulo somado/ subtraído:
Agora tomamos
e
. Isso dá
ou, reorganizando,
Passo 3
Definimos para cada inteiro
a função
Note que
que são polinômios em
(grau 0 e grau 1, respectivamente).
Passo 4
Usando a identidade do passo 2 com
, temos
isto é,
Como
e
são polinômios e a recorrência combina-os por soma e produto com
, segue por indução que
é um polinômio de grau
.
Resposta
A função
é exatamente o polinômio
definido pela recorrência
portanto é um polinômio em
de grau
.