Exercício 15.3. Considere a seguinte recorrência. É dada uma matriz
simétrica de tamanho
. Indutivamente,
é a sua decomposição
(obtida pelo método de Gram-Schmidt). Então fazemos
. Mostre que as
são todas simétricas.
Passo 1
O enunciado apresenta uma sequência de matrizes definida por QR-steps: começamos com uma matriz inicial
simétrica, e para cada
fazemos a decomposição de Gram–Schmidt
onde
é ortonormal (
) e
é triangular superior. Em seguida definimos
Queremos mostrar, por indução em
, que cada
é simétrica, ou seja,
.
Passo 2
Base da indução: por hipótese temos que
é simétrica, isto é,
Passo 3
Passo indutivo: suponha que
seja simétrica, isto é,
Da fatoração
e usando
obtemos
Logo
Passo 4
Agora verificamos a simetria de
calculando sua transposta:
onde no penúltimo passo usamos a hipótese indutiva
. Portanto
é simétrica.
Passo 5
Concluímos por indução que todas as matrizes
são simétricas para todo
.
Resposta
Todas as matrizes
são simétricas.