Exercício 15.3. Considere a seguinte recorrência. É dada uma matriz A1 simétrica de tamanho n times n. Indutivamente, Ai=Qi Ri é a sua decomposição Q R (obtida pelo método de Gram-Schmidt). Então fazemos Ai+1=Ri Qi. Mostre que as Ai são todas simétricas.

Passo 1

O enunciado apresenta uma sequência de matrizes definida por QR-steps: começamos com uma matriz inicial A1inR^ntimes n simétrica, e para cada i>=1 fazemos a decomposição de Gram–Schmidt
Ai = Qi,Ri,
onde Qi é ortonormal ( Qi^TQi=I) e Ri é triangular superior. Em seguida definimos
Ai+1 = Ri,Qi
Queremos mostrar, por indução em i, que cada Ai é simétrica, ou seja, ,Ai^T=Ai.

Passo 2

Base da indução: por hipótese temos que A1 é simétrica, isto é,
A1^T=A1

Passo 3

Passo indutivo: suponha que Ai seja simétrica, isto é,
Ai^T=Ai
Da fatoração Ai=QiRi e usando Qi^TQi=I obtemos
Ri = Qi^TAi
Logo
Ai+1 = RiQi = Qi^TAi,Qi

Passo 4

Agora verificamos a simetria de Ai+1 calculando sua transposta:
l(Ai+1r)^T =l(Qi^TAiQir)^T =Qi^T,Ai^T,Qi =Qi^T,Ai,Qi =Ai+1,
onde no penúltimo passo usamos a hipótese indutiva Ai^T=Ai. Portanto Ai+1 é simétrica.

Passo 5

Concluímos por indução que todas as matrizes Ai são simétricas para todo i>=1.

Resposta

Todas as matrizes Ai são simétricas.

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