Exercício 15.7. Considere o espaço
de todos os polinômios reais e uma variável, com o seguinte produto interno:
A base (
) não é ortogonal. Produza numericamente os primeiros 8 elementos de uma base ortonormal. Dica: o oitavo elemento é múltiplo de
. Esses polinômios são conhecidos como polinômios de Legendre.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal do espaço
dos polinômios reais em uma variável, com produto interno
Para obter uma base ortonormal podemos aplicar o processo de Gram–Schmidt ao sistema
, mas há um atalho conhecido: usar os polinômios de Legendre, que já são ortogonais em
.
Passo 2
Os polinômios de Legendre
satisfazem
Em particular,
é ortogonal, mas não normalizada.
Passo 3
Para tornar ortonormal basta definir
pois então
Passo 4
Basta agora substituir
na fórmula acima, usando as fórmulas explícitas dos primeiros
.