Exercício 15.7. Considere o espaço E de todos os polinômios reais e uma variável, com o seguinte produto interno:
lang<= f, grang<==integral-1^1 f(x) g(x) d x
A base ( 1, x, x^2, ldots ) não é ortogonal. Produza numericamente os primeiros 8 elementos de uma base ortonormal. Dica: o oitavo elemento é múltiplo de 429 x^7-693 x^5+315 x^3-35 x. Esses polinômios são conhecidos como polinômios de Legendre.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do espaço E dos polinômios reais em uma variável, com produto interno
lang<= f,grang<= = integral-1^1 f(x),g(x),dx
Para obter uma base ortonormal podemos aplicar o processo de Gram–Schmidt ao sistema 1,x,x^2,dots, mas há um atalho conhecido: usar os polinômios de Legendre, que já são ortogonais em [-1,1].

Passo 2

Os polinômios de Legendre Pn(x)n>=0 satisfazem
integral-1^1 Pm(x),Pn(x),dx = 22n+1,de<amn
Em particular, Pn é ortogonal, mas não normalizada.

Passo 3

Para tornar ortonormal basta definir
phin(x) ;=;raiz2n+12;Pn(x),
pois então
integral-1^1!phim(x),phin(x),dx =raiztfrac2m+12raiztfrac2n+12 integral-1^1Pm(x)Pn(x),dx =de<amn

Passo 4

Basta agora substituir n=0,1,dots,7 na fórmula acima, usando as fórmulas explícitas dos primeiros Pn.

Resposta

phi0(x)=1raiz2
phi1(x)=raiz32;x
phi2(x)=raiz52;3x^2-12
phi3(x)=raiz72;5x^3-3x2
phi4(x)=raiz92;35x^4-30x^2+38
phi5(x)=raiz112;63x^5-70x^3+15x8
phi6(x)=raiz132;231x^6-315x^4+105x^2-516
phi7(x)=raiz152;429x^7-693x^5+315x^3-35x16

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