Exercício 6.89 Seja
uma matriz Hermitiana. Mostre que
é uma matriz Hermitiana para toda matriz
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é Hermitiana, ou seja,
e pede para mostrar que, para qualquer
, a matriz
é também Hermitiana. Vamos usar a definição de matriz Hermitiana e as propriedades do adjunto (ou conjugada–transposta).
Passo 2
Lembramos a propriedade fundamental do adjunto de um produto de matrizes: se
e
são matrizes compatíveis, então
De modo análogo, para três matrizes compatíveis
vale
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao produto
, obtemos
Passo 4
Agora usamos que
é Hermitiana (
) e que o adjunto do adjunto retorna à matriz original (
). Assim,
Passo 5
Como mostramos que
pela definição isso significa que
é Hermitiana.
Resposta
Mostramos que
, logo
é Hermitiana para todo
.