Exercício 6.89 Seja A in Mn(C) uma matriz Hermitiana. Mostre que S A S^* é uma matriz Hermitiana para toda matriz S in Mn(C).

Passo 1

O enunciado afirma que Ain Mn(C) é Hermitiana, ou seja,
A^* = A,
e pede para mostrar que, para qualquer Sin Mn(C), a matriz
S,A,S^*
é também Hermitiana. Vamos usar a definição de matriz Hermitiana e as propriedades do adjunto (ou conjugada–transposta).

Passo 2

Lembramos a propriedade fundamental do adjunto de um produto de matrizes: se X e Y são matrizes compatíveis, então
(XY)^* = Y^*,X^*
De modo análogo, para três matrizes compatíveis X,Y,Z vale
(XYZ)^* = Z^*,Y^*,X^*

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao produto S,A,S^*, obtemos
l(S,A,S^*r)^* = l(S^*r)^*,A^*,S^*

Passo 4

Agora usamos que A é Hermitiana ( A^*=A) e que o adjunto do adjunto retorna à matriz original ( l(S^*r)^* = S). Assim,
l(S,A,S^*r)^* = S,A,S^*

Passo 5

Como mostramos que
l(S,A,S^*r)^* = S,A,S^*,
pela definição isso significa que S,A,S^* é Hermitiana.

Resposta

Mostramos que l(S,A,S^*r)^*=S,A,S^*, logo S,A,S^* é Hermitiana para todo Sin Mn(C).

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