Seja o operador definido por . Obtenha dois autovetores L.I. para e prove que qualquer outro autovetor de é múltiplo de um desses dois. Conclua que não é diagonalizável, embora sua matriz seja triangular.
Passo 1
Neste exercício, A é o operador linear em dado por A(x,y,z) = (x + 2y + 3z, ;y + 2z, ;3z). O conteúdo envolvido é autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes; vamos precisar representar A em matriz na base canônica, achar seus autovalores e resolver para obter os autovetores.
Passo 2
Para montar a matriz de A na base canônica, calculamos:
A(e_1) = A(1,0,0) = (1,0,0),
A(e_2) = A(0,1,0) = (2,1,0),
A(e_3) = A(0,0,1) = (3,2,3).
Assim a matriz de A na base é
Passo 3
Como [A] é triangular, seus autovalores aparecem na diagonal. Logo
lambda1 = 1(mu<iplicidade 2), lambda2 = 3
Passo 4
Para [\lambda = 1), resolvemos
Logo os autovetores para .
Passo 5
Para [\lambda = 3), resolvemos
Assim os autovetores para .
Passo 6
Portanto temos dois autovetores linearmente independentes, (1,0,0) para lambda=1 e (5,2,2) para lambda=3, e qualquer outro autovetor de A é múltiplo de um deles.
Como R^3 é de dimensão 3, precisaríamos de três autovetores linearmente independentes para diagonalizar A. Aqui só existem dois, logo A não é diagonalizável, embora sua matriz seja triangular.
Resposta
Dois autovetores L.I. são (1,0,0) e (5,2,2). Qualquer autovetor de A é múltiplo de um desses, de modo que não há três autovetores independentes e A não é diagonalizável.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 17.Exercícios - Ex. 17.7