Seja A: R^3 R^3 o operador definido por A(x, y, z)=(x+ 2 y+3 z, y+2 z, 3 z). Obtenha dois autovetores L.I. para A e prove que qualquer outro autovetor de A é múltiplo de um desses dois. Conclua que A não é diagonalizável, embora sua matriz seja triangular.

Passo 1

Neste exercício, A é o operador linear em R^3 dado por A(x,y,z) = (x + 2y + 3z, ;y + 2z, ;3z). O conteúdo envolvido é autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes; vamos precisar representar A em matriz na base canônica, achar seus autovalores e resolver (A - lambda I)v = 0 para obter os autovetores.

Passo 2

Para montar a matriz de A na base canônica, calculamos:
A(e_1) = A(1,0,0) = (1,0,0),
A(e_2) = A(0,1,0) = (2,1,0),
A(e_3) = A(0,0,1) = (3,2,3).
Assim a matriz de A na base e1,e2,e3 é
[A] = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3

Passo 3

Como [A] é triangular, seus autovalores aparecem na diagonal. Logo
lambda1 = 1(mu<iplicidade 2), lambda2 = 3

Passo 4

Para [\lambda = 1), resolvemos
Logo os autovetores para .

Passo 5

Para [\lambda = 3), resolvemos
Assim os autovetores para .

Passo 6

Portanto temos dois autovetores linearmente independentes, (1,0,0) para lambda=1 e (5,2,2) para lambda=3, e qualquer outro autovetor de A é múltiplo de um deles.
Como R^3 é de dimensão 3, precisaríamos de três autovetores linearmente independentes para diagonalizar A. Aqui só existem dois, logo A não é diagonalizável, embora sua matriz seja triangular.

Resposta

Dois autovetores L.I. são (1,0,0) e (5,2,2). Qualquer autovetor de A é múltiplo de um desses, de modo que não há três autovetores independentes e A não é diagonalizável.

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