12.32 O lado de um cubo tem comprimento x. Expresse (a) x como uma função do volume V do cubo, (b) a área da superfície S do cubo como uma função de x, e (c) o volume V como uma função da superfície S.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: temos um cubo de lado x. O volume do cubo é dado por V=x^3 e a área da superfície por S=6x^2. Vamos usar definição de funções e inversão de relações para expressar (a) x em função de V, (b) S em função de x e (c) V em função de S.

Passo 2

Expressão de x em função de V: partimos da definição do volume de um cubo
V = x^3
Para achar x isolado invertendo essa relação, aplicamos a raiz cúbica em ambos os lados:
x = V^1/3

Passo 3

Expressão de S em função de x: usamos a fórmula da área da superfície do cubo, que é a soma das áreas das seis faces quadradas de lado x:
S = 6x^2

Passo 4

Expressão de V em função de S: primeiro isolamos x em S=6x^2:
x = l(S6r)^1/2
Em seguida substituímos em V=x^3:
V = l(S6r)^3/2

Resposta

(a) x(V)=V^1/3
(b) S(x)=6x^2
(c) V(S)=(S/6)^3/2

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